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Isometrie, Verständnis

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Isometrie, Linear Abbildung, Othogonales Kompliment, Vektorraum

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13:15 Uhr, 04.09.2016

Aufgabe:
Seien U, V Unterräume gleicher Dimension in einem euklidischen Vektorraum W. Zeigen
Sie, dass es eine Isometrie f : U → V gibt.

Nach meinem Verständnis ist eine Isometrie eine Orthogonale lineare Abbildung, d.h. eine Abbildungsmatrix, die entweder spiegelt oder dreht, ohne dabei Öffnungswinkel oder Abstand des
Objektes zu verändern. Ist diese Matrix orthogonal so sind die Zeilen bzw. Spalten eine Orthonormalbasis.

Meine sehr schwammige Idee:
Ich will 2 Eigenschaften orthogonaler Systeme ausnutzen.
1) W = U+U*, wobei U* das zu V orthogonale Kompliment ist.
2) dim(W) = dim(U) + dim(U*)

U* ist also die Menge aller Vektoren u aus U und w aus W: <u,w>=0.

Ansatz:
Ich setze V:=U*
W besteht nur aus den Nullvektor.
U* besteht folglich auch nur aus den Nullvektor. (<u,w>=0)
U besteht auch nur aus den Nullvektor, denn laut Aufgabe ist dim(U)=dim(V).
Die Eigenschaft 2) würde dann auch halten. (dim(W) = dim(U) + dim(U*))

Wie in Aufgabe gefordert:
U und U* (ehemalig V) wären dann Unterräume von W gleicher Dimension, nämlich 0.

Gesucht ist jetzt nur noch eine orthogonale Abbildung f:U->U*, also eine
Abbildung die vom Nullvektor zum Nullvektor geht (Endomorphismus).
Da jede orthogonale Abbildung, die ein Endomorphismus ist, sowohl linear als auch ein Isomorphismus ist, habe ich doch die Aufgabe in dem Moment gelöst, wenn ich V:=U* setze.

Die Abbildungsmatrix kann ich ja dann beliebig wählen, da ich ja eh nur den Nullvektor im Definitionsbereich habe. Dann wäre auch garantiert, dass wenn die Abbildung orthogonal ist, dass die Zeilen bzw. Spalten dieser Matrix eine Orthonormalbasis sind.

Oder irre ich mich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

17:21 Uhr, 04.09.2016

Hallo
für dem VR der nur aus

o

besteht ist das zwar alles richtig, aber das ist nur ein sehr spezieller Fall der aufgabe, du sollst es ja für jeden VR einer festen Dimension

n

beantworten.
also ist damit die Aufgabe nicht gelöst.
du musst schon 2 beliebige UR nehmen, vorstellen etwa kannst du dir

ℝ^{3}

und 2 verschiedene ebenen durch

0,

beweisen musst du allgemeiner.
eine Matrix, die eine Isometrie erfüllt muss

det (M) = 1

sein.
Du musst die Isometrie nicht explizit annehmen, sondern nur beweisen, dass es sie gibt.
du kannst etwa eine einfache Basis in

U

und

V

wählen und damit anfangen.
Gruß ledum

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19:59 Uhr, 04.09.2016

Ok ich mache das einfach mal an einem Beispiel fest, ob ich das richtig verstehe.

U =

Lin

(1,0,0)

und

(0,1,0)

eine Ebene im

R^{3}

V =

Lin

(0,0,1), (0,1,0)

eine Ebene im

R^{3}

Jetzt brauche ich ja nur noch eine orthogonale Abbildungsmatrix, die

f : U \to V

abbildet.

A = ({(0,0,1)}^{T}, {(0,1,0)}^{T}, {(0,0,0)}^{T})

erfüllt ja gewünschtes.
Die Zeilen dieser Matrix bilden ein Orthonormalsystem. Die Determinante ist

= 1

(Rechtssystem).
Die Dimension von

U = V

.

Habe ich an diesem Beispiel jetzt Isometrie gezeigt?

D . h

. wenn

n = 3, u = (1,0,0)

eine Standardbasis aus

R^{3}, v = (0,1,0)

eine Stanardbasis

R^{3},

dann hat die gesuchte Abbildungsmatrix an der Stelle

a 21

den Eintrag 1. Die Verallgemeinerung dieser Idee ist dann nicht mehr so schwer.

ledum aktiv_icon

12:47 Uhr, 05.09.2016

Halllo
die Angabe der speziellen Matrix ist zum Beweis nicht nötig. wenn du in

U

dir eine beliebige Orthonormalbasis u1,u2,..uk, vorstellst (die kann man aus einer beliebigen immer herstellen), und in

V

eine andere

v,1, ... v_{k}

dann muss man nur sagen, dass eine lin. Abbildung ui->vi eindeutig und Längenerhaltend ist.
um die

A \in W

darzustellen musst du evt. noch die

u

auf eine Basis von

W

erweitern ebenso die

v

.
dein Beispiel ist richtig, aber da du gleich die Standard Einheitsvektoren des

ℝ^{3}

genommen hast zu speziell.
Gruß ledum

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22:07 Uhr, 05.09.2016

Ich habe heute einiges Probiert, um deine Hinweise nutzen zu können. Bislang ohne Erfolg.
Dennoch habe ich herausgefunden, dass nicht die Determinante, sondern die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix

= 1

bzw.

- 1

sind. Könntest du mir vllt. ein kleines Beispiel geben, damit ich weiterkomme?

ledum aktiv_icon

23:23 Uhr, 05.09.2016

Hallo
eigentlich ist das , was ich geschrieben habe schon fast ein Bsp.
Orthogonal ist weniger als Orthonormal, und wenn die Matrix eine

det

ungleich 1 hat vergrößert oder verkleinert sie. natürlich müssen die Eigenwerte 1 oder

- 1

sein, damit ein abgebildeter Vektor seine Länge nicht ändert.
Gruß ledum

Motion4Life aktiv_icon

16:01 Uhr, 07.09.2016

Ok. Anhand eines Beispiels ist mir das ja klar.

Sagen wir

U

⊂

W, V

⊂

W

gleicher Dimension mit

W = R^{3}

Sei

U

ein VR mit orthonormal Basis

(\begin{matrix} \frac{2}{6} \\ \frac{4}{6} \\ \frac{4}{6} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{4}{6} \\ \frac{2}{6} \\ - \frac{4}{6} \end{matrix}) (\begin{matrix} - \frac{4}{6} \\ \frac{4}{6} \\ - \frac{2}{6} \end{matrix})

.

Und

V

ein VR mit orthonormal Basis

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

.

Dann ist

A = ((\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} \end{matrix}))

a)

Da diese Abbildungsmatrix längen- und winkelerhaltend ist, gibt es eine Isometrie, sofern

U

und

V

aus Orthonormalbasen bestehen.

Fazit: Solange

a)

gilt, gibt es immer eine Isometrie. Ist das korrekt? xd

ledum aktiv_icon

17:37 Uhr, 07.09.2016

Hallo
deinBsp ist richtig, aber wieder kein allgemeiner Beweis, sondern ein richtiges Beispiel.
nochmal: für den Beweis braucust du keine Matrix aufschreiben, das geht ja gar nicht allgemein wenn etwa

dim (v) = 100

und

dim (U) = 77

ist .
Dann brauchst du allgemeine Sätze!
Gruß ledum

Motion4Life aktiv_icon

21:26 Uhr, 07.09.2016

Ja, das ist mir mittlerweile klar. Was ich derzeit aber suche ist etwas, dass man verallgemeinern kann. In meinem ersten Beispiel habe ich ja die Matrix verallgemeinert. Das war ja dann nicht so cool.

In meinem zweiten Beispiel versuche ich die folgende Idee zu verallgemeinern. Sind

B 1

und

B 2

Orthonormalbasen von

V

bzw.

U,

dann ist

f

Isometrie. Das hatte ich nur an einem Beispiel gezeigt. Aber dieser Gedanke zählt es zu verallgemeiern oder?

ledum aktiv_icon

17:57 Uhr, 09.09.2016

Hallo
scheint nicht klar zu sein dass man eine lineare

A

. nicht nur durch eine Matrix darstellen kann, sonder einfach das Bild von

n

linear unabhängigen Vektoren angeben kann. zB, habe ich in

W

nklinear unabhängige Einheitsvektoren

w_{i}, \in U

ebenso

u_{i}

die Abbildung

f : u_{i} \to w_{i}

ist eine eindeutige lineare Abbildung von

V

nach

W,

da Einheitsvektoren auf solche abgebildet werden ist sie auch isometrisch.
Beispiel V=RR°3

W : {{(1,0 . 0)}^{T}, {(1,1,1)}^{T}}; U = {{(0,2,1)}^{T}, {(1,2,3)}^{T}}

1. Schritt

w_{1} = (1,0,0), w_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1,1,1)

u_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (0,2,1), u_{2} = \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (1,2,3))

dann die Abbildung. wenn man ein konkretes Bsp hat kann man dazu natürlich eine Matrix aufschreiben, aber das ist allgemein sinnlos.
Das Beispiel soll es nur dir klar machen, es ist nicht Teil eines Beweises.
Gruß ledum

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