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Isometrie bestimmen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Isometrie bestimmen, Matrizenrechnung

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16:33 Uhr, 01.02.2017

Hallo, ich hätte da eine dringende Frage. Ich brauche Hilfe.
Ich habe eine Aufgabe vor mir liegen bei der ich nicht weiterkomme.
Also der Punkt

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

wird auf

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

abgebildet. Und ebenso

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

auf

(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})

. Man soll die eigentliche Isometrie bestimmen.Die Lösung für die Aufgabe ist

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot v + (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

. Mir ist klar wie man auf

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

kommt, aber nicht wie man

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

berechnet.
Kann mir da jmd. helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

18:43 Uhr, 01.02.2017

Hallo,

Du musst folgendes Gleichungssystem lösen:

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})

aus der ersten Matrixgleichung ergibt sich schon mal:

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

Und wenn man das in die zweite Gleichung einsetzt ergibt sich:

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

Das ergibt in der ersten Zeile:

a_{11} - a_{12} = - 1

Jetzt war das Thema "Isometrie",

d . h

. auch wenn es hier nicht steht, dass die gesuchte Matrix eine Drehmatrix ist und somit ihre Zeilen und ihre Spalten jeweils paarweise orthonormale Vektoren bilden.

D . h

z . B .,

dass

a_{11}^{2} + a_{12}^{2} = 1

Setzt man die nach

a_{11}

umgestellte erste Gleichung des Gleichungssystems in diese "pythagoräische" Gleichung ein, so erhält man:

{(a_{12} - 1)}^{2} + a_{12}^{2} = 1

a_{12}^{2} - 2 \cdot a_{12} + 1 + a_{12}^{2} = 1

2 \cdot a_{12}^{2} - 2 \cdot a_{12} = 0

2 \cdot (a_{12} - 1) \cdot a_{12} = 0

\Rightarrow a_{12} = 0

oder

a_{12} = 1

Es ergeben sich in diesem Fall die Lösungspaare

a_{12} = 0, a_{11} = a_{12} - 1 = - 1

a_{12} = 1, a_{11} = a_{12} - 1 = 0

Da Drehmatrizen schiefsymmetrisch (auch antisymmetrisch genannt) sind und die Elemente der Hauptdiagonale gleich sind, ergäben sich folgende zwei mögliche Matrizen:

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

Das prüft man mit der zweiten Matrixgleichung:

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

Offensichtlich ist nur

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

eine Lösung!

simplyme aktiv_icon

22:41 Uhr, 01.02.2017

Vielen Dank für die Antwort. Ich hab ihr Prinzip verstanden, nur was mir noch unklar ist, woher kommt diese "pythagoräische" Gleichung?

ledum aktiv_icon

23:08 Uhr, 01.02.2017

Hallo
wenn eine Matrix winkeltreu abbilden soll müssen ihre Zeilenvektoren ( und Spaltenvektoren) senkrecht sein,

d . h

. ihr Skalarprodukt

= 0

(ausserdem Flächentreu'->Determinante

= 1)

Gruss ledum

simplyme aktiv_icon

23:22 Uhr, 01.02.2017

Aber warum die pythagoräische Gleichung, was sagt sie mir denn? Und danke für die antwort.

simplyme aktiv_icon

00:46 Uhr, 02.02.2017

Ahhh ok hab es jetzt verstanden danke. Stand nur auf dem Schlauch. Aber vielen Dank für Ihre Hilfe´.

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