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Isomorphie zeigen

Universität / Fachhochschule

Analytische Zahlentheorie

Tags: Analytische Zahlentheorie

Matillo aktiv_icon

22:09 Uhr, 24.06.2020

Es ist zu zeigen, dass

(ℤ / 2^{a} ℤ)^{*}

isomorph zu

(ℤ / 2 ℤ) \times (ℤ / 2^{a - 2} ℤ), a \geq 3

ist.

In der Loesung steht

5

hat Ordnung

2^{a - 2} (m o d 2^{a})

. Beachte dass, wenn

5^{j} \equiv - 1 (m o d 2^{a})

,folgt

1 \equiv - 1 (m o d 4)

, Widerspruch. Daher ist

- 1

nicht in der Untergruppe erzeugt durch

5 (m o d 2^{a})

. Daher kann jede prime Restklasse geschrieben werden als

\pm 5^{j}

. Ich verstehe da nicht so ganz, wieso daher die Isomorphie folgt.

Danke schonmal fuer die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:23 Uhr, 24.06.2020

Damit wurde gezeigt, dass

(ℤ / 2^{a} ℤ)^{*}

aus Elementen der Form

5^{j}

oder

- 5^{j}

besteht. Jetzt kann man

(ℤ / 2^{a} ℤ)^{*}

auf

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2^{a - 2} ℤ

abbilden:

5^{j}

auf

(0, j)

und

- 5^{j}

auf

(1, j)

. Das wird die Isomorphie.

Matillo aktiv_icon

21:31 Uhr, 25.06.2020

Vielen Dank!^^

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