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Isomorphietypen abelscher Gruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: abelsche Gruppen, Gruppen, Isomorphietyp

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19:21 Uhr, 14.04.2019

Hallo,
ich sollte in einer Aufgabe alle verschiedenen Isomorphietypen abelscher Gruppen der Ordnung

60

bestimmen und begründen, warum das alle sind.

Dabei ist

60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

D . h

ℤ / 60 ℤ ≅ ℤ / 2^{2} ℤ \times ℤ / 3 ℤ \times ℤ / 5 ℤ

.

In einer anderen Aufgabe sollte man das Gleiche für die Ordnung

40 = 2^{3} \cdot 5

aufschreiben.
In der Lösung stand:

ℤ / 40 ℤ ≅ ℤ / 5 ℤ \times ℤ / 2^{3} ℤ

ℤ / 40 ℤ ≅ ℤ / 5 ℤ \times ℤ / 2^{2} ℤ \times ℤ / 2 ℤ

ℤ / 40 ℤ ≅ ℤ / 5 ℤ \times ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

Nun habe ich in meiner Lösung ebenfalls

ℤ / 2^{2} ℤ

nochmal aufgeteilt in

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

. Dies wurde dann als Fehler angestrichen mit der Begründung

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ ≅ ℤ / 4 ℤ

.

Nun versteh ich nicht, wieso das bei Ordnung

40

richtig war und bei Ordnung

60

nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:46 Uhr, 14.04.2019

Hallo,

ok, das Problem ist, dass

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ \sim / ℤ / 4 ℤ

gilt.
Sonst gäbe es in

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

ein Element der Ordnung 4.

Insofern gibt es zwei mögliche nicht isomorphe Möglichkeiten für eine abelsche Gruppe der Ordnung 60:

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 3 ℤ \times ℤ / 5 ℤ

und

ℤ / 4 ℤ \times ℤ / 3 ℤ \times ℤ / 5 ℤ

Nun weiß ich nicht, was du geschrieben hast und was der Korrektor.

Vielleicht hilft dir die Aussage ja trotzdem.

Mfg Michael

PolynomX aktiv_icon

20:22 Uhr, 14.04.2019

Schon mal vielen Danke fúr die Antwort.

Der Korrektor meinte

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

wäre isomorph zu

ℤ / 4 ℤ

. Deswegen dùrfte ich nicht schreiben dass

ℤ / 60 ℤ ≅ ℤ / 2 ℤ x ℤ / 2 ℤ . .

. gilt.

Wieso durfte man das denn dann im anderen Fall auseinander ziehen? Woran seh ich, wann das gilt und wann nicht?

michaL aktiv_icon

21:03 Uhr, 14.04.2019

Hallo,

> Der Korrektor meinte ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ wäre isomorph zu ℤ/4ℤ.

Dem ist aber nicht so.
Es gilt

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}

, wobei mit 0 und 1 jeweils Restklassen mod 2 gemeint sein sollen.

Man rechnet leicht nach, dass

(0, 1) + (0, 1) = (0, 0)

(1, 0) + (1, 0) = (0, 0)

(1, 1) + (1, 1) = (0, 0)

.
Folglich haben alle Elemente höchstens Ordnung 2, insbesondere ist

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

, anders als

ℤ / 4 ℤ

NICHT zyklisch.
Insbesondere können beide Gruppen nicht isomorph sein.

Vielleicht kannst du deinen Korrektor da erleuchten.

Mfg Michael

PolynomX aktiv_icon

21:58 Uhr, 14.04.2019

Danke, ich denke ich habs jetzt verstanden .
Kann auch sein, dass sich der Korrektor in Eile verschrieben hat.

Vielen Dank fùr die ausführliche Antwort :-)

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