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Isomorphismus
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Ring
 
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anonymous 08:55 Uhr, 11.01.2020  |
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Hallo, wie zeige ich, dass die Menge {[a]e K[x]/(f) mit a e K} isomorph zu K ist. Liebe Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, ist ein Ringhomomorphismus. Der Kern() ist also ein Ideal in . Welche Ideale besitzt der Körper ? Gruß ermsnus |
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anonymous 09:14 Uhr, 11.01.2020 |
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Also das die Abbildung pi:K->K[x]/(f) mit a --> [a] ein Homomorphismus ist, ist klar, denn Es gilt: pi(a+b)=pi(a)+pi(b) pi(a+b)=[a+b]=[a]+[b]=pi(a)+pi(b) Analog für die Multiplikation Kernpi={a e K mit [a]=0} --> Das Bild ist gleich null, wenn a ein Vielfaches von f ist --> also Element von (f). --> Das Ideal (f) bildet den Kern. Kernpi={(f)}. Ein Körper besitzt auf jeden Fall die Ideale (0) und (1). Das ist alles was ich weiß.. |
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Ein Körper besitzt nur diese beiden Ideale. Wegen , kann der Kern nicht ganz sein, ist also = , d.h. ist injektiv. |
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anonymous 09:34 Uhr, 11.01.2020 |
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Warum gilt denn pi(1)=1 D.h. woher weißt du das [1]=1 ist?? Ahhh… weil wir einen Homomorphismus zwischen Körpern haben ? Und für einen Körperhomomorphismus gilt diese Eigenschaft ja eben...? Zudem haben wir dann ja nur gezeigt, dass die Abbildung Injektiv ist.. Sie muss aber ja auch surjektiv sein ? |
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Was ist denn für beliebiges ? Die Surjektivität von ist doch trivial: du betrachtest doch nur die , die von einem herkommen. Dass nicht surjektiv ist, ist ja klar ... |
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anonymous 09:52 Uhr, 11.01.2020 |
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Was mich irritiert ist, dass wir ja eigentlich nicht wissen was [1] ist, da wir ja nicht wissen, was K[x]/(f) ist... Ang. f=1 .. dann wäre [1]=0 ? Aber ja [1]*[g] = [1*g]=[g] |
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Klar, wenn ist, dann ist der Restklassenring der Nullring. Aber du bist doch an Körpererweiterungen interessiert und da ist ein irreduzibles Polynom und hat einen Grad > 0. |
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anonymous 10:03 Uhr, 11.01.2020 |
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ach jetzt hab ich es glaube ich verstanden.. und aus dem Grund kann ich dann auch einfach [1]=1 schreiben .. |
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Ja, so ist es. Leider muss ich nun bis heute abend offline gehen ... Gruß ermanus |
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anonymous 10:08 Uhr, 11.01.2020 |
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Vielen Dank für deine Hilfe ! |
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