Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Isomorphismus

Isomorphismus

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
t-bus

t-bus aktiv_icon

08:55 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,
wie zeige ich, dass die Menge {[a]e K[x]/(f) mit a e K} isomorph zu K ist.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:07 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,

φ:KK[x]/(f),a[a] ist ein Ringhomomorphismus.
Der Kern(φ) ist also ein Ideal in K.
Welche Ideale besitzt der Körper K?

Gruß ermsnus
t-bus

t-bus aktiv_icon

09:14 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Also das die Abbildung pi:K->K[x]/(f) mit a --> [a] ein Homomorphismus ist, ist klar, denn
Es gilt:
pi(a+b)=pi(a)+pi(b)
pi(a+b)=[a+b]=[a]+[b]=pi(a)+pi(b)
Analog für die Multiplikation

Kernpi={a e K mit [a]=0} --> Das Bild ist gleich null, wenn a ein Vielfaches von f ist --> also Element von (f). --> Das Ideal (f) bildet den Kern.
Kernpi={(f)}.

Ein Körper besitzt auf jeden Fall die Ideale (0) und (1).
Das ist alles was ich weiß..
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:17 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Ein Körper besitzt nur diese beiden Ideale.
Wegen φ(1)=1, kann der Kern nicht ganz K sein, ist also = (0),
d.h. φ ist injektiv.
t-bus

t-bus aktiv_icon

09:34 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Warum gilt denn pi(1)=1
D.h. woher weißt du das [1]=1 ist??
Ahhh… weil wir einen Homomorphismus zwischen Körpern haben ?
Und für einen Körperhomomorphismus gilt diese Eigenschaft ja eben...?

Zudem haben wir dann ja nur gezeigt, dass die Abbildung Injektiv ist..
Sie muss aber ja auch surjektiv sein ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:44 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Was ist denn [1][g] für beliebiges gK[x] ?
Die Surjektivität von φ:Kφ(K) ist doch trivial:
du betrachtest doch nur die [a], die von einem aK herkommen.
Dass φ:KK[x]/(f) nicht surjektiv ist, ist ja klar ...

t-bus

t-bus aktiv_icon

09:52 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Was mich irritiert ist, dass wir ja eigentlich nicht wissen was [1] ist, da wir ja nicht wissen, was K[x]/(f) ist...
Ang. f=1 .. dann wäre [1]=0 ?

Aber ja [1]*[g] = [1*g]=[g]



Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:56 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Klar, wenn f=1 ist, dann ist der Restklassenring der Nullring.
Aber du bist doch an Körpererweiterungen interessiert und da ist
f ein irreduzibles Polynom und hat einen Grad > 0.
t-bus

t-bus aktiv_icon

10:03 Uhr, 11.01.2020

Antworten
ach jetzt hab ich es glaube ich verstanden..
und aus dem Grund kann ich dann auch einfach [1]=1 schreiben ..
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:05 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Ja, so ist es.
Leider muss ich nun bis heute abend offline gehen ...
Gruß ermanus
Frage beantwortet
t-bus

t-bus aktiv_icon

10:08 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Vielen Dank für deine Hilfe !