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Isomorphismus

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Gruppen

Tags: Algebra, Gruppen, modulo

 
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mimijahn

mimijahn aktiv_icon

21:00 Uhr, 23.04.2022

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Hey alle zusammen,

kann mir jemand hier weiterhelfen. Wenn ich die Verknüpfungstabellen aufstelle, sehe ich keinen Isomorphismus, da Umbenennung nicht funktioniert.

Die Gruppen (ℤ 4, ⊕4, [0]4) und (Z5 {[0]5}, ⊙5, [1]5) sind isomorph.


Dankeee!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:32 Uhr, 24.04.2022

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Was soll denn Umbenennung sein? :-O
Nicht ganz klar, welche Gruppen du meinst, aber wenn es additive ℤ4 und multiplikative ℤ5* sind, dann ist es die Abbildung:
1→2 und davon erzeugte 2=1+1→2⋅2=4, 3=1+1+1→2⋅2⋅2=3, 0=4=2+2→4⋅4=1.
Also insgesamt
1→2
2→4
3→3
0→1.

Das ist offensichtlich eine Bijektion.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:06 Uhr, 24.04.2022

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Hallo,

da ja offenbar (ℤ4,+,0,-) zyklisch ist (1‾ ist etwa ein Erzeuger), braucht man ja nur zu versuchen, einen Erzeuger von (ℤ5*,⋅,1,-1) zu finden.
Die Grundmenge enthält vier Elemente, wovon eines die Ordung 1 und eines die Ordnung 2 hat. Die anderen beiden sind Erzeuger. Man hätte also durch stumpfes Probieren diese Aufgabe schnell lösen können müssen.

Zusatz: (ℤ5,+,⋅,0,1,-,-1) ist ein endlicher Körper.
Bei endlichen Körpern ist die (multiplikative) Gruppe der Einheiten stets zyklisch.
Da zyklische Gruppen gleicher Elementanzahl bis auf Isomorphie eindeutig sind, ist diese Behauptung auch ohne explizite Angabe eines Isomorphismus beweisbar, wenn man noch viel Aufbauwissen hat.

Mfg Michael