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Isomorphismus angeben

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Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Isomorphismus, Linear Abbildung, Vektorraum

Mai05 aktiv_icon

15:51 Uhr, 28.01.2021

Hallo, ich soll einen Isomorphismusvon

R^{3}

in den unten zu sehenden Vektorraum

V

angeben.

Ich habe schon einiges versucht, bin aber nicht fündig geworden und jetzt hat sich mir die Frage gestellt, ob das überhaupt möglich ist, oder ob ich nur einen Isomorphismus von

R^{3} \to R^{3}

oder

R \to R

angeben kann (also wenn die Räume die gleiche Ordnung haben)?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:59 Uhr, 28.01.2021

Hallo,

doch, Isomorphismen kann es nur zwischen Räumen gleicher Dimension geben.
Nun stellt sich die Frage, ob der dir gegebene Raum - übrigens der Raum der Polynome höchstens 2. Grades - nicht die gleiche Dimension hat.

Dimension "geht" über Basen. Welche wäre eine Basis von

V

?

Wenn du das hast, dann brauchst du doch nur die Bilder auf diser Basis anzugeben, und zwar so, dass die Bilder eben wieder eine Basis (dann des

ℝ^{3}

) sind.

Mfg Michael

Mai05 aktiv_icon

17:18 Uhr, 28.01.2021

Ich musste die Dimension von

V

schon angeben und da habe ich (da

V

ja von

R \to R

abbildet)

dim V = 1

(nach

dim R^{n} = n)

Aber dann habe ich das anscheinend schon falsch gemacht.
Reicht dann als Basis

B = {x^{2}, x,1}

?
Würde dann im(V)=R^3 das Bild sein?
Falls ja weiß ich nicht, wie ich daraus jetzt den gesuchten Isomorphismus bekomme...

michaL aktiv_icon

18:21 Uhr, 28.01.2021

Hallo,

gut so,

{1, x, x^{2}}

ist eine Basis von

V

.

Ihr habt sicher so einen Satz wie: Eine lineare Abbildung (= Vektorraumhomomorphismus) ist durch die Bilder auf einer Basis festgelegt.

Wenn du nun jedem der Elemente der Basis

{1, x, x^{2}}

von

V

ein Bild aus

ℝ^{3}

zuordnest, sodass die Bilder ein Erzeugendensystem sind, so ist der dadurch festgelegte Homomorphismus schonmal sujektiv. Außerdem haben die beiden Vektorräume die gleiche Dimension.
Daraus kann man ableiten, dass dieser Homomorphismus auch injektiv sein muss (das geht dann aus Gradgründen nicht anders).

Damit ist der Homomorphismus also ein Isomorphismums.

Sei clever und wähle als Erzeugendensystem gleich eine (möglichst naheliegende) Basis des

ℝ^{3}

.
Beziehe dich anschließend auf diesen Satz (dass VR-Homomorphismen durch die Angabe der Bilder einer Basis festgelegt sind).

Mfg Michael

Mai05 aktiv_icon

18:41 Uhr, 28.01.2021

Hallo, vielen Dank erstmal für die Antwort, aber ich habe noch ein paar Fragen dazu. :-)

"Wenn du nun jedem der Elemente der Basis

{1, x, x 2}

von

V

ein Bild aus ℝ3 zuordnest"

Wie mache ich das?
Könntest Du das eventuell an einem Beispiel erklären, sodass ich das danach selbst versuchen kann? (Den Satz haben wir nicht gehabt)

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