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Isomorphismus "angeben"

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Gruppen

Tags: Faktorgruppen, Gruppen, Isomorphismus, Normalteiler

RomischEins aktiv_icon

18:19 Uhr, 27.09.2020

Hallo Forum!

Die Angabe lautet wie folgt:
Zeigen Sie, dass die alternierende Gruppe A3 (das ist die Menge aller geraden Permutationen in S3) ein Normalteiler der symmetrischen Gruppe S3 ist.
Wie sieht die Faktorgruppe S3/A3 aus?

G e b e n S i e w e i t e r s e i n e n I s o m o r p h i s m u s z w i s c h e n S 3 / A 3 u n d (- 1, 1, \cdot) a n .

Ich habe alles gelöst und weiß auch was ein Isomorphismus ist, aber ich weiß nicht wie ich ihn "angeben" soll wie es in der Angabe (ich habe es fett markiert) gefragt ist.
Es wird wohl nicht reichen wenn ich schreibe:

S_{3} / A_{3} ≅ (- 1, 1, \cdot)

:-)

Alles was man zur Angabe des Isomorphismus braucht (denke ich):

(1) ist die Identität, (123), (132) Drehungen und (12), (13), (23) Spiegelungen.
Die Faktorgruppe S3/A3 mit 2 Elementen und Operator (ich nenne sie hier F1 und F2):

{F_{1} = [(1), (123), (132)], F_{2} = [(12), (13), (23)], \circ}

Die Gruppe ({−1, 1}, ·) mit 2 Elementen und Operator:

{- 1, 1, \cdot}

Also hier nochmal kurz und knapp meine Frage:
Wie kann ich einen Isomorphismus "angeben"?

LG Romisch Eins

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:22 Uhr, 27.09.2020

Hallo,

weißt du, was das Signum einer Permutation ist?

Mfg Michael

RomischEins aktiv_icon

18:31 Uhr, 27.09.2020

Im spezifischen Fall der Symmetriegruppe

S 3 :

(1) (123) (132) =

positives Signum (gerade Anzahl an Fehlstellungen bezüglich der Identität)

(12) (13) (23) =

negatives Signum (ungerade Anzahl an Fehlstellungen bezüglich der Identität)

soweit ich weiß :-)

ist das ein Tipp, weil die Vorzeichen in

{(- 1, 1)}

einmal negativ und einmal positiv sind?

michaL aktiv_icon

18:43 Uhr, 27.09.2020

Hallo,

> ist das ein Tipp, weil die Vorzeichen in {(−1,1)} einmal negativ und einmal positiv sind?
Kann man noch mehr als mit dem Zaunpfahl wedeln?

Mfg Michael

RomischEins aktiv_icon

18:54 Uhr, 27.09.2020

Heißt das ich könnte dann als Lösung schreiben:

Der Isomorphismus zwischen S3/A3 und (-1,1, ⋅) besteht darin, dass wenn ich zwei Elemente aus einer Menge miteinander verknüpfe erhalte ich das selbe Vorzeichen wie wenn ich zwei gleichwertige Elemente in der anderen Menge verknüpfen würde.

Vielleicht noch Operationstafel dazu und passt?

Vielen dank für die schnelle Antwort ;-)

LG Romisch Eins

DrBoogie aktiv_icon

18:59 Uhr, 27.09.2020

Operationstafel ist überflüssig.
Es reicht zu schreiben:

[σ] \to s i g n (σ)

ist ein Isomorphismus zwischen

S_{3} / A_{3}

und

{- 1, 1}

michaL aktiv_icon

19:08 Uhr, 27.09.2020

Hallo,

na, ja...

Letztlich hängt es davon ab, was ihr über

sgn : S_{n} \to ({- 1; 1}, \cdot, 1,^{- 1})

wisst.
Wenn ihr den schon als Homomorphismus entlarvt habt, dann reicht meines Erachtens wirklich, die Wohldefiniertheit zu zeigen.

Solltet ihr womöglich sogar schon über die den Homomorphisatz (für Gruppen) gesprohen haben, wird die Sache noch einfacher.
Immerhin ist

sgn : S_{n} \to ({- 1; 1}, \cdot, 1,^{- 1})

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Sicher wisst ihr dann auch schon, dass

\ker (

gilt (manchmal wird das als Definition für

A_{n}

genommen).

Aus dem Homomorphiesatz folgt dann die angegebene Isomorphie.

Mfg Michael

RomischEins aktiv_icon

19:47 Uhr, 27.09.2020

@DrBoogie
Die Notation mit sigma ist mir leider fremd.
Wir haben Abbildungen in dieser Weise angegeben:

φ : G \to H, x \mapsto y

Könnte ich dann speziell für dieses Beispiel schreiben:

φ : S_{3} \to (- 1, 1, \cdot), x \mapsto s g n (x)

ist ein Homomorphismus denn es gilt:

φ (x \circ y) = φ (x) \cdot φ (y) .

Außerdem ist

φ

bijektiv deswegen handelt es sich um einen Isomorphismus. *?*

@michaL
Es ist eine alter Prüfungsfrage, also ich glaube nicht, dass man allgemein etwas annehmen darf, ich glaube jede Antwort muss formuliert und begründet werden. Den Homomophiesatz ist mir bekannt, ich werde ihn mir nochmal ansehen. Ich glaube bei deiner Antwort ist leider etwas verloren gegangen bei ker(...
Weiteres siehe oben :-)

LG Romisch Eins

DrBoogie aktiv_icon

19:51 Uhr, 27.09.2020

Permutationen werden klassischerweise nicht mit

x, y

kennzeichnet, sondern mit griechischen Buchstaben, am häufigsten mit

σ

. Damit ist

σ

nur einfach ein beliebiges Element aus

S_{3}

RomischEins aktiv_icon

20:06 Uhr, 27.09.2020

Alles klar ich denke damit ist mir geholfen!
Ich kann mich auch erinnern, dass wir für Permutationen "

π

" verwendet haben.
Hier nochmal meine Lösung mit griechischen Buchstaben:

Ich bezeichne

(- 1, 1, \cdot)

mit

H

φ : S_{3} / A_{3} \to H, π \mapsto s g n (π)

ist ein Homomorphismus denn es gilt:

φ (π_{1} \circ π_{2}) = φ (π_{1}) \cdot φ (π_{2})

Außerdem ist

∣ S_{3} / A_{3} ∣

∣ H ∣

somit ist

φ

bijektiv und ein Isomorphismus.

Danke an alle die einen Beitrag geleistet haben :-)
LG Romisch Eins

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