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Isomorphismus einer Linearen Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Isomorphie, Lineare Abbildungen

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17:26 Uhr, 03.11.2013

Hallo, ich habe eine ziemlich anspruchsvolle Aufgabe in der Linearen Algebra erhalten und komme leider nicht, weiter, das Verständnis ist, da aber ich kann es absolut nicht mathematisch ausdrücken...

z . z

gilt dass:

ist

V

ein Vektorraum über

K

und

B

eine Basis von

V

so gilt

V ≅

Abbildung

[B, K]

Es gilt also zu zeigen, dass beide Vektorräume die selbe Dimension haben.

Ich nehme mal hier an dass

V

endlich erzeugt ist, sonst würde Aufgabe wenig Sinn machen.
Mein Ansatz war, dass der Span von

V

ja die Menge aller möglichen Linearkombinationen enthält, welche den Raum aufspannen, also

\Rightarrow

span

V = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} : a_{i} \in K

und

v_{i} \in V}

und der Span (Abbildungen

[B, K])

ist je die endliche Menge aller Funktionen welche einem Basiselement

(b_{i} \in B)

ein Skalar

(a_{i} \in K)

zu ordnet.

Mein Ansatz wäre jetzt eigentlich ziemlich einfach

F : V \to

Abbildung

[B, K] \Rightarrow dim

Abbildung

[B, K] \leq dim V

Das ist irgendwie logisch und trivial

zeigen soll ich jetzt aber:

F^{- 1} :

Abbildung

[B, K] \Rightarrow V

und

dim V \leq dim

Abbildung

[B, K]

Und hier habe ich Probleme. Wie bereits gesagt rein vom formalen her ist es relativ simpel ich verstehe nur nicht so genau wie ich mathematische beschrieben soll, dass jede Funktion welche eine einem Basiselement ein Skalar zu zuordnet eindeutig einem Element im Span von

V

zu geordnet werden kann...

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte und mir auch verraten könnte ob meine Überlegungen richtig sind...

Grüsse Ventura

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

18:04 Uhr, 03.11.2013

Hallo,

was ist denn

F

? Ich nehme mal an,

F

ist zumindest eine lineare Abbildung. Man kann aber aufgrund der Linearität einer Funktion

F : V \to W

keine Beziehungen zwischen den Dimensionen herstellen. So kann

V

unendlich-dimensional sein und

W

endlich-dimensional, oder umgekehrt. Da ist also gar nichts trivial. Zumindest fehlt hier eine Information über

F

wie injektiv oder surjektiv, dann lassen sich Zusammenhänge zwischen den Dimensionen herstellen. Ist

F

injektiv, dann ist

\dim V \leq \dim W

, ist

F

surjektiv, dann ist

\dim W \leq \dim V

.

Ob hier nur endlich-dimensionale Vektorräume gemeint sind, solltest du klären. Solltet ihr Basen als endliche Familien definiert haben, dann ist es klar. Ansonsten könnte der Vektorraum

V

auch unendlich-dimensional sein, zumindest sehe ich auf den ersten Blick kein Hinderungsgrund, warum es keinen Isomorphismus geben sollte (das kann natürlich sein, ist mir jetzt aber nicht klar). Im unendlich-dimensionalen Fall könntest du auch nicht über die Dimension argumentieren!

Beste Grüße
Sina

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18:33 Uhr, 03.11.2013

Hallo
Vielen Dank für die Antwort.
Ich habe bei den Assistenten nachgefragt,

V

ist wirklich endlich dimensional, die Aufgabe war formal noch nicht gannz sauber gestellt...

Sina86

22:10 Uhr, 03.11.2013

Ok, das gibt dir zwei Möglichkeiten:

Entweder du beweist, dass der Raum

A b b (B, K)

dieselbe Dimension hat wie

V

(d.h. du gibst eine Basis an) und zeigst dann, dass endlich-dimensionale

K - V R

mit derselben Dimension immer isomorph sind (wurde vlt auch schon gezeigt), oder du gibst einen konkreten Isomorphismus von

V

nach

A b b (B, K)

an...

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22:35 Uhr, 03.11.2013

Hallo Danke für die Antwort

Leider ist eben genau hier mein Problem, ich weiss nicht wie ich das zeigen soll ohne mathematisch Formal absolut daneben zu liegen...

Ich möchte wirklich niemanden dazu bitten mir hier irgendwelche Komplettlösungen anzugeben, aber mein grösstes Problem im Studium ist eben, die korrekt formale Schreibweise...

Sina86

08:13 Uhr, 04.11.2013

Die Formalismen bekommen wir schon hin... Hast du denn eine Idee, wie eine Basis aussehen könnt bzw. ein möglicher Isomorphismus?

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23:30 Uhr, 04.11.2013

Hallo habe mir noch mal Gedanken zu dieser Aufgabe gemacht...
Und versuche nun den Lösungsansatz, welcher mir irgendwie noch logisch erscheint...
Sei

B \subset V

so gilt span

B = {\sum_{I = 1}^{n} α_{i} b_{i}}

und sei

φ

in Abbilung

[B, K]

d . H

F : V \to

Abbildung

[B, K]

ist genau dann bijektiv wenn wenn

F

sowohl injektiv und surjektiv ist...

Nun habe ich mir gedacht ich nehme

F_{\sum_{I = 1}^{n} α_{i} b_{i}} = F_{\sum_{I = 1}^{n} α_{i} b_{i}} \Rightarrow φ_{1} = φ_{2}

Aber ich stehe absolut auf dem Schlauch for allem weiss ich nicht wie genau weitermachen soll....würde mich sehr auf Erklärungen freuen...

Sina86

07:28 Uhr, 05.11.2013

Hallo,

es tut mir Leid, aber ich verstehe deine Notation nicht. Was macht

F

?

Was du dort hinschreibst erinnert ein wenig an die Definition für Injektivität (ist aber nicht richtig). Bedenke, dass

F

eine lineare Abbildung sein muss. Dann ist es meistens bedeutend einfacher den Kern von

F

zu untersuchen.

Beste Grüße
Sina

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07:51 Uhr, 05.11.2013

OK...versuche es mal so: der Kern

F = {0}

oder?
Bild

F = {φ_{i}; \forall i \in ℕ}

oder?

Aber was hilft mir das...? Oder liege ich wieder komplett falsch?

: (

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18:04 Uhr, 05.11.2013

Oder könnte mir bitte jemand erklären wie ich einen Homomorphismus, von

F : V \to

Abbildung

[B, K]

definieren kann? Die Begrifflichkeiten sind mir mittlerweile viel zu abstrakt, es tut mir leid, dass ich im Moment nicht so durchblicke...
Darf ich einfach ein

v_{1}, v_{2} \in V

definieren und ein

φ_{1}, φ_{2}

in Abbildung

[B, K]

definieren und so den Homomorphismus zeigen?

Sina86

20:27 Uhr, 05.11.2013

Also, es ist überhaupt nicht klar, was deine Funktion

F

machen soll. Du musst eine Funktionsvorschrift angeben.

Wenn

V

ein

n

-dimensionaler Vektorraum mit der Basis

(v_{1}, . . ., v_{n})

ist und

W

ist ein beliebiger (vlt unendlich-dimensionaler) VR und ich wähle eine Familie von

n

Vektoren

(w_{1}, . . ., w_{n})

(die können auch linear abhängig, oder gleich oder sogar der Nullvektor sein, völlig egal), dann gibt es genau eine lineare Abbildung

F : V \to W

mit

F (v_{i}) = w_{i}

i = 1, . . ., n

. Das ist ein Satz aus der LinA 1.

Genauer, die Funktion lautet dann

F : V \to W, \sum_{i = 1}^{n} α_{i} v_{i} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} w_{i}

.

Dabei ist

F

surjektiv, wenn

(w_{1}, . . ., w_{n})

ein Erzeugendensystem von

W

bilden und injektiv, wenn

(w_{1}, . . ., w_{n})

linear unabhängig sind. Also

F

ist genau dann ein Isomorphismus, wenn

(w_{1}, . . ., w_{n})

eine Basis von

W

bilden. Vielleicht hilft das ja weiter...

Beste Grüße
Sina

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20:58 Uhr, 05.11.2013

Ok meine Funktion macht folgendes:

F : V \to

Abbildung

[B, K]

(\begin{matrix} . \\ . \\ α_{i} \\ . \\ . \\ . \end{matrix}) \mapsto (f : {b_{i}} \to K, b_{i} \to α_{i})

Hoffe das stimmt so...es ist genau der Lösungsansatz den ich heute erhalten habe...
Wie definiert man dann hier den Homomorphismus...?

Grüsse

Sina86

20:30 Uhr, 06.11.2013

Hallo,

also

V

besteht nicht aus

n

-Tupeln, sondern aus Vektoren, die ich als Linearkombination

v = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} b_{i}

der Basisvektoren von

B

darstellen kann. Dann bildet

F

diesen Vektor

v

auf eine Funktion

f

ab.

Aber warum steht da jetzt bei dir

f : {b_{i}} \to K

? Das ist nicht richtig.

f

ist auf

B

definiert. Also

f : {b_{1}, . . ., b_{n}} \to K

. Und was heißt dann

b_{i} \mapsto α_{i}

?

Wir drehen uns ja jetzt im Kreis. Deswegen gebe ich dir jetzt mal einen Tipp. Probier es mal mit

F : V \to A b b (B, K), \sum_{i = 1}^{n} α_{i} b_{i} \mapsto (f : {b_{1}, . . ., b_{n}} \to K, \sum_{i = 1}^{n} α_{i})

Dann gilt nämlich

f (b_{i}) = α_{i}

. Das scheint mir eher der Lösungsansatz gewesen zu sein, den du erhalten hast.

Beste Grüße
Sina

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20:51 Uhr, 06.11.2013

Aha jetzt verstehe ich wie ich die Funktionen zu definieren habe...

Danke vielmals

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