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Isomorphismus über Standardbasis auf Vektoren

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Tags: Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Vektorraum

 
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DerFuchs1337

DerFuchs1337 aktiv_icon

18:02 Uhr, 20.10.2016

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Hallo,

ich versuche diese Aufgabe zu lösen:

K Körper. a,b,c,dK. Wann ist die lineare abbildung
f:K2K2 ein Isomorphismus, die die Standardbasis {e1,e2} auf die Vektoren
f(e1)=v=ae1+be2
f(e2)=w=ce1+de2
abbildet?
Konstruieren Sie die Umkehrabbildung g die fg (komponiert) = idK erfüllt.

Ich verstehe die Aufgabenstellung wahrscheinlich nicht richtig.
Für mich ist e1=0 (Neutralelement Addition), e2=1 (Neutralelement Multiplikation).
Klar, es ist ein Isomorphismus wenn es bijektiv ist, d.hv und w müssen linear unabhängig sein, d.h
λ1v+λ2w=0vλ1=0 und λ2=0.

Wenn man es so auslegt wie ich es verstehe, muss doch immer
bd gelten, da für mich e1 das Nullelement ist.

Was ich mich auch frage: Wie genau sehen dann die Einträge in K2 aus? Existieren nur 2 Vektoren, da wir nur e1 und e2 als Urbildmenge haben?

sind v=(v1,v2) und w=(w1,w2) alle Werte, die obige eigenschaft erfüllen oder wäre zb
v= (ae1, be2) und w=(ce1, be2) ?

Ich hoffe jemand kann mir bei der Aufgabe helfen, ich glaube ich verstehe sie völlig falsch, denn in meinen augen ist ae1 =0 und ce1 =0 für alle a und cK?

Lg


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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michaL

michaL aktiv_icon

18:07 Uhr, 20.10.2016

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Hallo,

> Ich verstehe die Aufgabenstellung wahrscheinlich nicht richtig.
> Für mich ist e1=0 (Neutralelement Addition), e2=1 (Neutralelement Multiplikation).

Nein, mit {e1,e2} ist die Standardbasis gemeint. Steht auch im Text. Vielleicht sicherheitshalber konkreter: e1=(10), e2=(01).

0 und 1 gibt es in jedem Körper. DIE sind die neutralen Elemente: 0 das neutrale Element der Addition, 1 das der Multiplikation

Reicht das schon?

Mfg MIchael


EDIT: Typo
DerFuchs1337

DerFuchs1337 aktiv_icon

18:34 Uhr, 20.10.2016

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Hey, ok danke.
Dass wir dann aus der Standardbasis eine surjektive lineare Funktion "basteln" können ist ja logisch, das heißt wir müssen nur noch durch eine passende bedingung die Funktion so einschränken, dass ein Vektor nicht mehrmals in der Bildmenge vorhanden ist, sodass sie auch injektiv und somit bijektiv, also Isomorphismus ist?

d.h es muss gelten dass
v=ae1+be2ce1+de2=w
da lese ich dann die bedingungen raus:
entweder
Fall 1:ac und bd
Fall 2:a=c und bd
Fall 3:ac und b=d

falls a=c und b=d würden wir ja auf einen vektor mehrmals abbilden, für beliebige werte von a,b,c,dK.

Können wir als Umkehrabbildung g:K2K2
mit vv(e1+e2)
also alle vektoren in K2 bilden wir auf v(1,1) ab. Dann bilden wir jedes v auf sich selbst ab, was die Definition der identitätsabbildung ist.

dann haben wir zB g(e1)=(1,0)(1,1)=(1,0)=e1

Sieht das schon besser aus?

Lg


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michaL

michaL aktiv_icon

18:42 Uhr, 20.10.2016

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Hallo,

ungleich alleine reicht nicht. Sie dürfen nicht linear abhängig sein!

Mfg Michael
DerFuchs1337

DerFuchs1337 aktiv_icon

18:50 Uhr, 20.10.2016

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Wir haben das so bisher nicht gemacht,
wie kann ich denn zeigen dass v=(v1,v2) und w=(w1,w2) linear unabhängig sind, wenn
wir die eigenschaften wie oben gegeben haben?

lg
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