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Isomorphismus und lineare Abbildung zeigen
Universität / Fachhochschule
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Tags: Gruppen, Körper, polynom, Relation., Ring
 
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Hallo, ich brauche dringend bei folgender Aufgabe eure Unterstützung. 6. Seien ein Körper und K-Vektorraume. Zeigen Sie, dass durch ϕ ⊗ ψ → (v⊗w → ϕ(v)·ψ(w)) eine eindeutige lineare Abbildung V∗ ⊗ W∗ → (V⊗W)∗ definiert wird. Zeigen Sie, dass die Abbildung aus ein Isomorphismus ist, falls und endlich dimensional sind. Für a habe ich folgenden Ansatz: Zunächst definiere ich die Abbildung: f:V∗×W∗→(V⊗W)∗, f(ϕ,ψ)(v⊗w)=ϕ(v)⋅ψ(w). Bilinearität von Linearität in ϕ:(ϕ1+aϕ2,ψ)(v⊗w)=(ϕ1,ψ)(v⊗w)+(ϕ2,ψ)(v⊗w) Linearität in :(ϕ,ψ1+bψ2)(v⊗w)=(ϕ,1)(v⊗w)+(ϕ,ψ2)(v⊗w) Da bilinear ist, gibt es eine eindeutige lineare Abbildung F:V∗⊗W∗→(V⊗W)∗, sodass (ϕ⊗ψ)=(ϕ,ψ) Passt das so? Für brauche ich dringend Hilfe. Danke für eure Hilfe schon mal im Voraus. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, siehe www.onlinemathe.de/forum/lineare-Abbildung-Isomorphismus-mit-Tensorprodukt . Mfg Michael |
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Hallo, wäre a so richtig? Oder fehlr dabei noch die wohldefiniertheit? Zunächst definiere ich die Abbildung: f:V∗×W∗→(V⊗W)∗, f(ϕ,ψ)(v⊗w)=ϕ(v)⋅ψ(w). Bilinearität von Linearität in ϕ:(ϕ1+aϕ2,ψ)(v⊗w)=(ϕ1,ψ)(v⊗w)+(ϕ2,ψ)(v⊗w) Linearität in ψ:(ϕ,ψ1+bψ2)(v⊗w)=(ϕ,1)(v⊗w)+(ϕ,ψ2)(v⊗w) Da bilinear ist, gibt es eine eindeutige lineare Abbildung F:V∗⊗W∗→(V⊗W)∗, sodass (ϕ⊗ψ)=(ϕ,ψ) zu fällt mir nach deinem Tipp folgendes ein: Um zu zeigen, dass ein Isomorphismus ist, müssen wir beweisen, dass bijektiv ist. Da und endlich-dimensional sind, können wir die Dimensionsformel für lineare Abbildungen verwenden: dim(V∗⊗W)=dim(V∗)⋅dim(W)=dim(V)⋅dim(W) und dim((V⊗W)∗)=dim(V⊗W)=dim(V)⋅dim(W) Da die Dimensionen übereinstimmen, folgt daraus, dass injektiv und surjektiv ist, und somit ein Isomorphismus. Was sagst du dazu? |
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siehe die Antworten im anderen forum ledum |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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