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Isomorphismus zeigen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Relationen
Tags: Gruppen, Relation.
 
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Hi, Zu zeigen ist " Falls und ist Primzahl ist die Gruppe ismorph zu _(p)" Also Isomorphismus war doch: Es besteht eine lineare bijektive Abbildung zwischen den Gruppen und ist auch linear... oder? Aber wie beweist man sowas? lg Jenny Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, man muss immer darauf achten, welche Isomorphismen benutzt werden, da dieses Wort öfter gebraucht wird. Linear macht meiner Meinung nach hier keinen Sinn, da dieses Wort nur in Zusammenhang mit Vektorräumen vorkommt, dann spricht man auch von einem Vektorraum-Isomorphismus. Du hast einen Gruppen-Isomorphismus, d.h. eine Funktion die bijektiv ist und für die gilt: . Die Umkehrfunktion ist dann automatisch ebenfalls ein Isomorphismus, also nicht interessant. Natürlich ist es schwer, konkret eine solche Funktion hier anzugeben, da sich ja die Gruppenstruktur bei geändertem mitverändern könnte. Da wird es dann Zeit, über Tricks nachzudenken. Hier würde ich mal über die Worte "zyklisch" und "Erzeuger" nachdenken :-) Lieben Gruß Sina |
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also wenn Primzahl ist, dann ist eine zyklische Gruppe, es mit . soweit müsste das stimmen oder? aber weiß nicht so recht wie ich das für ne Abbildung verwenden kann. lg Jenny |
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Hm, also unter verstehe ich immer die Restklassengruppe mit der Addition, aber bei dir ist es Multiplikation? Ist eigentlich nicht so wichtig, aber bei der Addition ist die Restklassengruppe immer zyklisch (erzeugt durch die Eins) und bei der Multiplikation wird sie für n=prim durch jedes Element außer der Null erzeugt. Aber im ging es mir dabei nicht. Betrachte lieber die total unbekannte Gruppe , mit . Vielleicht kann man bei der etwas über zyklisch Aussagen? |
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da endlich viele Elemente hat, und gleichzeitig abgeschlossen ist muss sie auch zyklisch sein und ein "Erzeuger"? |
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Genau, was jetzt noch zu zeigen wäre. Endlichkeit und Abgeschlossenheit genügen dafür nämlich nicht, so ist z.B. die Gruppe endlich, aber nicht zyklisch. Diese Gruppe hat zwei Erzeuger. Um das bei dir zu zeigen, sollte man über die Ordnung der Elemente in der Gruppe nachdenken. Und danach ist es eine gute Idee, eine Funktion zu basteln, die Erzeuger auf Erzeuger abbildet (also den Erzeuger von auf den/einen Erzeuger von ). Zu beweisen ist dann nur noch, dass diese Funktion ein Gruppen-Isomorphismus ist. |
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und hier kommt wahrscheinlich ins spiel das primzahl ist daher kann man nicht als Kreuzprodukt zwier "kleinerer" Gruppen schreiben? es kann nur einen erzeuger geben? stimmt das? bzw. wie formuliere ich das formeller. und wie bastle ich im allgemeinen fall ein solche bijektive Abbildung ich weiß doch von nur das die Anzahl der Elemente prim ist |
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Ok, also ich meinte es so ;-) Sei , dann gilt (die Ordnung ist die Zahl , so dass gilt). Da prim, ist . Ist , so gilt , dann ist das neutrale Element. Dieses ist in einer Gruppe eindeutig. Ist , so gilt: , denn gilt ( und o.B.d.A. ) und da ist, gilt und somit (ich gehe hier davon aus, dass definiert ist). Zudem ist die oben genannte Menge aufgrund der Abgeschlossenheit von eine Teilmenge von und somit gilt . Damit ist ein Erzeuger von . Nun basteln wir uns also die Funktion: Dies ist ein Homomorphismus, denn . Sie ist injektiv, denn gilt , so ist , denn für alle ist . Damit wir nur die Null auf Null abgebildet und der Homomorphismus ist injektiv. Da die Gruppen endlich sind und dieselbe Anzahl an Elementen besitzen, ist er damit auch surjektiv und somit ein Gruppenisomorphismus. Puh, das wars... |
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danke |
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