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Isomorphismus zeigen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Zu zeigem: Die Abbildung mit ist genau dann ein Isomorphismus, wenn abelsch ist Das die Abbildung ein Homomorphismus ist, lässt sich noch relativ leicht zeigen (xy) weil abelsch ist Damit es sich um einen Isomorphismus handelt, muss die Abbildung zusätzlich noch bijektiv sein. Wie würde man das zeigen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Der Homomorphismus ist sicherlich surjektiv, denn für beliebiges gilt denn ist eine Gruppe, also ist jedes Element invertierbar. ist auch injektiv, denn aus . |
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Hallo, zwei Bemerkungen dazu: 1. für die Bijektivität reicht es, zu sehen. 2. In der Aufgabe steht "... genau dann ein Isomorphismus, ...". Formal hast du nur die eine Richtung gezeigt. Gruß ermanus |
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Was bedeutet das ? |
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Die identische Abbildung von auf sich: . |
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So ganz klar ist mir das immer noch nicht, aber ich versuche es trotzdem ein mal. Wenn ich das richtig verstanden habe ist bereits gezeigt, dass die Abbildung ein Homomorphismus ist, genau dann wenn abelsch ist. Oder muss ich das auch noch für die andere Richtung zeigen? Zu zeigen bleibt auch noch, dass die Funktion bijektiv ist Ich würde gerne zeigen, aber bin mir nicht sicher wie Ich habe jedoch noch einen anderen Ansatz: Wir wissen, dass es sich um eine Abbildung handelt. Außerdem gilt für jede Algebra, dass jedes Element höchstens ein inverses Element besitzt. Also muss es sich doch um eine Abbildung handeln, oder nicht? |
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, also ist die Identität, folglich ist seine eigene Umkehrabbildung, folglich bijektiv. Deine letzte Überlegung ist OK, da eine Gruppe ist. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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