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Isomorphismus zu einer Familie von K-Vektorräumen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Vektorraum

 
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Mango123

Mango123

20:49 Uhr, 25.06.2022

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Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe danke schonmal im Vorhinein.

2022-06-25 (4)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:35 Uhr, 25.06.2022

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Hallo,

die Schwierigkeit besteht darin, zu verstehen, was das für Gebilde sind.

Es ist iIVi={(vi)iIiIVivi0 für nur endlich viele vi}

Damit ist (iIVi)* der zugehörige Dualraum, d.h. enthält alle linearen Abbildungen von iIViK.

Einfacher ist iIVi* zu verstehen: es besteht aus Einträgen φi, die selbst lineare Abbildungen ViK sind.

Man muss also für ein φ:=(φi)iIiIVi* und ein beliebiges v:=(vi)iIiIVi eine (eineindeutige) lineare Abbildung ψ(φ):iIViK angeben. Und diese "Angabe" muss selbst linear sein.
Mir schwebt da ψ(φ):{iIViK(vi)iIiIφi(vi) vor.

Vier Dinge sind jetzt zu tun:
(1) Zeigen, dass diese Definition wohldefiniert ist. Insbesondere die Summe könnte ja für I"=" nicht definiert sein!
(2) Zeigen, dass die Zuordnung φψ(φ) linear ist. (Also ψ(αφ+χ)=αψ(φ)+ψ(χ)
(3) Zeigen, dass diese Zuordnung injektiv ist.
(4) Zeigen, dass diese Zuordnung surjektiv ist.

Mfg Michael
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