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Isomorphismus zweier Körper beweisen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

screechowl

22:15 Uhr, 22.11.2009

Hallo,

ich soll beweisen, dass die zwei Körper

ℂ

und

K = (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix})

mit

a, b

ℝ

isomorph sind. Es müsste also gelten:

σ : K \to ℂ, (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}) \mapsto

a+bi

σ^{- 1} : ℂ \to K,

a+bi

\mapsto (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix})

Weiter komme ich aktuell nicht... ich weiß, dass ein Isomorphismus ein bijektiver Homomorphismus ist,

d . h

. ich müsste wohl die Injektivität sowie Surjektivität der Abbildung nachweisen. Wie mache ich das? Über entsprechende Suchmaschinen finde ich hierzu meist Schlagwörter wie Dimension, Kern, Bild

o

.ä. - aber all diese Sachen haben wir bisher nicht eingeführt und dürfen sie darum nicht nutzen. Kann mir jemand eine Hinweis geben, wie mir anderweitig der Beweis gelingen dürfte, also welche Kriterien ich überprüfen muss?

Vielen Dank!

S.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

22:26 Uhr, 22.11.2009

Nicht nur bijektiv muss die Abbildung sein, sondern auch ein Körperhomomorphismus,

d . h

σ (z_{1} + z_{2}) = σ (z_{1}) + σ (z_{2}), σ (z_{1} \cdot z_{2}) = σ (z_{1}) \cdot σ (z_{2}), σ (1) = 1

. (Woher weisst du überhaupt, dass

K

tatsächlich ein Körper ist?)

Um nicht das Invers-sein durch die Schreibweise zu suggerieren, nenne die Abbildung, die du

σ^{- 1}

genannt hast, erst einmal

τ

.
Gilt

τ \circ σ = i d_{K}

? Gilt

σ \circ τ = i d_{ℂ}

? Wenn du beides mit ja beantworten kannst, ist

σ

bijektiv.

screechowl

22:55 Uhr, 22.11.2009

Dass

K

ein Körper ist, musste ich bereits einen Schritt früher beweisen (und dieser Beweis ist mir gelungen).

K

ist ein Homomorphismus, da gilt:

c, d

ℝ

1 .)

σ ((\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}) + (\begin{matrix} c & - d \\ d & c \end{matrix})) = σ (\begin{matrix} a + c & - b - d \\ b + d & a + c \end{matrix}) = a + c + (b + d) \cdot i = (a + b \cdot i) + (c + d \cdot i)

= σ (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}) + σ (\begin{matrix} c & - d \\ d & c \end{matrix})

2 .)

σ ((\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c & - d \\ d & c \end{matrix})) = σ (\begin{matrix} a \cdot c - b \cdot d & - b \cdot c - d \cdot a \\ b \cdot c + d \cdot a & a \cdot c - b \cdot d \end{matrix}) = a \cdot c - b \cdot d + (b \cdot c + d \cdot a) \cdot i = (a + b \cdot i) \cdot (c + d \cdot i)

= σ (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}) \cdot σ (\begin{matrix} c & - d \\ d & c \end{matrix})

3 .)

σ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = 1 + 0 i

Soweit richtig?

Und wie genau weise ich jetzt die Bijektivität nach? Du hast ja schon einen Hinweis genannt, aber diesen verstehe ich noch nicht so ganz: Wie sind die beiden Körper miteinander verknüpft? Und mit "id" hatte ich bisher auch noch keinen Umgang...

hagman aktiv_icon

23:00 Uhr, 22.11.2009

i d_{ℂ}

ist einfach die identische Abbildung.
Du kannst dir Injektivität aber auch direkt überlegen:
Was muss für

a, b

gelten, damit

σ ((\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix})) = 0

?
Surjektivität:
Gegeben beliebiges

a + b i \in ℂ,

kannst du eine Matrix in

K

finden, die

a + b i

ergibt?
Beide Fragen sind so trivial, dass dir wahrscheinlich nicht bewusst war, wie einfach die Sache ist

. .

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