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Isomorphismus zwischen Körpern mit 8 Elementen

Universität / Fachhochschule

Körper

Polynome

Tags: Körper, polynom

MadPotato aktiv_icon

23:51 Uhr, 25.12.2017

Guten Abend.
Ich weiß bereits,dass sich der Körper mit 8 Elementen (im folgenden F8 genannnt) wie folgt definieren lässt:
F2[X]/(x^3 + x + 1)F2[X]
Wobei F2 der Körper mit 2 Elementen und
F2[X] der entsprechende Polynomring ist.
Nun lässt sich F8 (oder besser F8') jedoch auch durch
F2[X]/(x^3 + x^2 + 1)F2[X] konstruieren.
Mir ist bereits klar, dass beide Varianten zu denselben Restklassen führen, und das die beiden isomorph sein sollen.
Ich habe jedoch keine Ahnung wie dieser Isomorphismus konkret aussehen soll.
Kann mir da jemand weiterhelfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

20:18 Uhr, 27.12.2017

x \to x

ist immer ein Automorphism.

MadPotato aktiv_icon

18:04 Uhr, 28.12.2017

Erst einmal danke für die Antwort Dr.Boogie :-)
Daran dachte ich auch erst, aber ich habe mich daran gestört, dass diese Abbildung nicht Vertreterunabhängig ist: z.B ist in F8 x^3 +1 = x , sprich beide polynome sind teil der Restklasse [x]
Aber in F8' ist x ungleich x^3 +1 die beiden sind dort also nicht in derselben Restklasse. Ignoriert man das also einfach und rechnet bloß mit den Vertretern vom Grad <= 2 einer Restklasse ? Dann wäre es natürlich klar.

DrBoogie aktiv_icon

10:35 Uhr, 29.12.2017

Man rechnet gar nicht mit Vertretern, sondern nur mit Restklassen.

x

ist bei

x \to x

nicht als Variable der Polynomen zu verstehen.
Vielleicht wäre besser

a \to a

zu schreiben.
Also

1 + (x^{3} + x + 1) \to 1 + (x^{3} + x^{2} + 1)

usw.

ermanus aktiv_icon

15:15 Uhr, 29.12.2017

Hallo,
ich glaube, dass die Sache komplizierter ist ...
Zunächst meine Bezeichnungen:

a := X + (X^{3} + X + 1)

bzgl. des ersten Restklassenkörper

F_{2} (a)

b := X + (X^{3} + X^{2} + 1)

bzgl. des zweiten Restklassenkörper

F_{2} (b)

a \mapsto b

kann keinen Homomorphismus

f

liefern, da für einen solchen
gelten würde:

0 = f (0) = f (a^{3} + a + 1) = (f (a))^{3} + f (a) + 1 = b^{3} + b + 1 = b^{2} + 1 + b + 1 = b (b + 1)

,

was

b = 0

oder

b = 1

zur Folge hätte.

Ich würde es mal mit

f (a) = b + 1

versuchen ;-)

Gruß ermanus

DrBoogie aktiv_icon

16:48 Uhr, 29.12.2017

a \to b

ist auch kein identischer Automorphismus, denn

a \neq b

.
Es muss natürlich

a \to a

gehen, daher muss man zuerst genau die passende Restklasse "rechts" finden.

ermanus aktiv_icon

00:16 Uhr, 30.12.2017

@DrBoogie: das verstehe ich nicht :(
"Mein"

a

gibt es doch in "meinem"

F_{2} (b)

gar nicht.
Bin leider bis morgen abend offline ...

Ah! Das Forum ist wieder im Netz !!

ermanus aktiv_icon

14:17 Uhr, 03.01.2018

Hallo,
erst einmal alles Gute zum Neuen Jahr!
bevor das Forum vielleicht wieder verschwindet ;-),
möchte ich denn doch noch meinen Vorschlag aus dem Post
vom 29.12. genauer ausführen:

Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

X \mapsto b + 1

, also

F : F_{2} [X] \to F_{2} (b), \sum_{i = 0}^{n} c_{i} X^{i} \mapsto \sum_{i = 0}^{n} c_{i} (b + 1)^{i}

für

n \in ℕ

und

c_{1}, \dots, c_{n} \in F_{2}

.

Es gilt

X^{3} + X + 1 \in \ker (F)

; denn

F (X^{3} + X + 1) = (b + 1)^{3} + (b + 1) + 1 = (b^{3} + b^{2} + b + 1) + (b + 1) + 1 = b^{3} + b^{2} + 1 = 0

.

Da

F_{2} [X] / (X^{3} + X + 1)

ein Körper ist, folgt ex post:

\ker (F) = (X^{3} + X + 1)

.
Damit haben wir

F_{2} (a) = F_{2} [X] / \ker (F) ≅ F_{2} (b)

.
Dabei ist der Isomorphismus offenbar durch

a \mapsto b + 1

gegeben.

Gruß ermanus

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