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Isomorphismus zwischen einem Vektorraum Dualraum
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Linear Abbildung
 
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Hallo! Hi, ich musste gerade im Rahmen eines Übungsblattes einen Isomorphismus zwischen einem endlich dimensionalen K-Vektorraum und dessen Dualraum angeben, was mir soweit auch gelungen ist. Jetzt stellt sich allerdings die Frage, ob es noch andere gibt? Mein Gefühl sagt nein, ich kann jedoch nicht begründen warum das so sein könnte. Wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte, wäre ich sehr dankbar! mfG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, gerade bei Vektorräumen braucht ja nur die Dimension gleich zu sein, damit sie isomorph sind (sofern der Grundkörper der gleiche bleibt). Dann aber kann man einen Homomorphismus allein auf einer Basis definieren. Ist z.b. der Grundkörper und haben die beiden Vektorräume die Dimension , so kann man die Bilder durchtauschen und allein auf diese Weise viele Isomorphismen finden (und das sind noch nicht alle, weil ich ja Elemente der Basis gegen andere austauschen kann). Soll heißen: Hast du für eine Basis und für die Basis so kannst du die eine Permutation hernehmen und schonmal -viele Isomorphismen per (für ) angeben. Als: Nein, zwischen isomorphen Vektorräumen gibt es fast immer mehrere Isomorphismen! Mfg Michael |
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und sind ja isomorph, weil ihre Dimensionen gleich sind. Und den Isomorphismus kann man angeben durch Ich habe bewiesen, dass isomorph zu ist, genau dann wenn Muss ich jetzt noch die Linearität, Injektivität und Sujektivität von beweisen oder genuegt mein eben erwähnter Beweis. Und wie würde man diese 3 Dinge beweisen in diesem Fall? |
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Hallo, hm, mir scheint die Diskussion abzurutschen, weg von Dualräumen hin allgemein zu Vektorräumen. Wer über Dualräume spricht, hat üblicherweise die Basics zum Thema Vektorraum und -homomorphismen schon hinter sich, sodass diese kein Problem mehr darstellen sollten. Du kannst einen Vektorraumhomomorphismus allein dadurch definieren, dass du die Bilder auf einer Basis angibst. 1. Dass sich daraus ein eindeutiger Homomorphismus ergibt, ist sehr grundlegend. Ich suche gern im Internet für die etwas heraus, wenn du selbst nichts in deiner Mitschrift oder Büchern oder dem Internet findest. Schlimmstenfalls bekomme ich den Beweis auch selbst hin, wenngleich es viel Tipperei ist. 2. Dass der so festgelegte Homomorphismus genau dann injektiv ist, wenn die Menge der Bilder der Basis linear unabhängig ist, ist auch eine grundlegende und einfach zu folgernde Tatsache. Insbesondere ist dies ja gegeben, wenn die Bilder selbst (wieder) eine Basis (des Bildraums) bilden. 3. Surjektiv ist der so angegebene Homomorphismus dann (und nur dann), wenn die Bilder der Basis ein Erzeugendensystem bilden. Insbesondere ist dies ja gegeben, wenn die Bilder selbst (wieder) eine Basis (des Bildraums) bilden. Mir wäre doch lieber, wenn ich einen Scan der Originalaufgabenstellung zu lesen bekäme... Mfg Michael |
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Originalaufgabenstellung: Sei ein endlichdimensionaler K-VR. Geben Sie einen Isomorphismus in Iso(V, an. Gibt es noch andere? |
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Hallo, das dürfte sich dann ja erschöpfend geklärt haben, oder? Mfg Michael |
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