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Isomorphismus zwischen zwei zyklischen Gruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Algebraische Zahlentheorie

Primzahlen

Tags: Algebraische Zahlentheorie, generator, Gruppen, Gruppenordnung, Homomorphismus, Isomorphismus, Primzahl, Teilbarkeit

byjenseirik aktiv_icon

09:08 Uhr, 25.07.2017

Hallo zusammen.

Ich habe folgende Aufgabe:
Finde einen Isomorphismus

φ : < ℤ_{12}, \oplus > \to < ℤ_{3}, \oplus > \times < ℤ_{4}, \oplus >

.

Gestellt wurde diese Aufgabe in einer alten Prüfung im Teil "Zahlentheorie". Wir haben jedoch auch Algebra behandelt.

Ich habe nun in einer alten Übung folgendes Lemma mit Beweis gefunden:

Seien

n, m

teilerfremd. Dann ist die Funktion

f : ℤ_{n \cdot m} \to ℤ_{n} \times ℤ_{m}

mit

x \mapsto (R_{n} (x), R_{m} (x))

bijektiv.

Ich kann also die Funktion

f (x) = (R_{4} (x), R_{3} (x))

verwenden, um den Isomorphismus anzugeben. Nun muss ich allerdings noch beweisen, dass es wirklich ein Isomorphismus ist.

M . m . n

. müsste dafür auch schon reichen, wenn ich zeige, dass es sich um einen Gruppen-Homomorphismus handelt, denn Bijektivität folgt ja bereits aus dem Lemma.

Nun will ich das wie folgt zeigen:

φ (a \oplus b) = (R_{4} (a \oplus b), R_{3} (a \oplus b)) = (R_{4} (R_{4} (a) + R_{4} (b)), R_{3} (R_{3} (a) + R_{3} (b))) = φ (a) \oplus φ (b) □

Ist dieser Beweis so gültig?
Danke für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ermanus aktiv_icon

17:49 Uhr, 25.07.2017

Hallo,
was ist denn dein

R_{k} (x)

byjenseirik aktiv_icon

17:55 Uhr, 25.07.2017

Hallo. Dachte, das sei Standardnotation: als

R_{k} (x)

bezeichne ich den Wert

y = x mod k

michaL aktiv_icon

18:59 Uhr, 25.07.2017

Hallo,

> Dachte, das sei Standardnotation

Standardnotationen sind insbesondere in diesem Bereich rar. Gerade weil es in verschiedene Gebiete fällt, kochen mehrere Köche ihre eigenen Suppen. Nichtsdestotrotz konnte man erahnen, worum es ging.

> Bijektivität folgt ja bereits aus dem Lemma.

Die Bijektivität muss schon noch nachgewiesen werden. Beispiel:

φ : ℤ_{12} \to ℤ_{3} \times ℤ_{4}

;

x \mapsto 0

ist ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus, aber nicht injektiv und daher auch nicht bijektiv. Das Argument zieht also nicht immer und daher auch nicht in deinem Spezialfall.
Allerdings reicht es, eine der beiden Eigenschaften Injektivität oder Surjektivität nachzuweisen, da eine injektive Abbildung zwischen zwei endlichen gleichmächtigen Mengen automatisch surjektiv ist und umgekehrt.

> Ist dieser Beweis so gültig?

Es geht letztlich darum, ob du das zweite Gleichheitszeichen noch begründen musst. Das kann ich aber nicht genau sagen, das dürfte vom Korrektor abhängen.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

19:45 Uhr, 25.07.2017

Wenn ich dich richtig verstanden habe, wird in dem von dir
zitierten Lemma bewiesen, dass

f

bijektiv ist. Da

R_{m}

und

R_{n}

Gruppenhomorphismen sind, folgt auch, dass

f

ein solcher ist.
Denn ganz allgemein seien

h_{1} : G \to H_{1}

und

h_{2} : G \to H_{2}

Gruppenhomomorphismen.
Dann ist

g = (h_{1}, h_{2}) : G \to H_{1} \times H_{2}, x \mapsto (h_{1} (x), h_{2} (x))

ein Gruppenhomorphismus.
Dein 2-tes Gleichheitszeichen lässt sich dann aber etwas

R

-sparsamer
(und formal korrekter) so schreiben:

(R_{4} (a \oplus b), R_{3} (a \oplus b)) = (R_{4} (a) \oplus R_{4} (b), R_{3} (a) \oplus R_{3} (b))

.

Eine konkrete Darstellung von

G = ℤ_{12}

als direktes Produkt
zweier Untergruppen hat man auch auf diese sehr einfache Weise:

ℤ_{12} = {0, 4, 8} \times {0, 3, 6, 9}

1 \mapsto (4, 9) ≃ 4 + 9 = 13 = 1

.
Entsprechend

2 = 1 + 1 \mapsto (4, 9) + (4, 9) = (8, 6) ≃ 8 + 6 = 14 = 2

, etc.

byjenseirik aktiv_icon

15:47 Uhr, 26.07.2017

Ja, aber das Lemma gibt die Funktionsvorschrift explizit an, inklusive Beweis, dann erübrigt sich der Beweis der Bijektivität.

Danke euch beiden.

Dabei ist in mir eine neue Frage entstanden: Wie viele verschiedene Isomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen der Ordnung

n > 0

kann es eigentlich überhaupt geben?

Meiner Meinung nach müssten dies

φ {(n)}^{2}

sein, wenn

φ (n)

der Anzahl Generatoren in der zyklischen Gruppe entspricht. Ich würde so argumentieren, dass es ja

φ (n)

Generatoren in der zyklischen Gruppe der Ordnung

n

gibt. Bildet man nun einen Generator der ersten Gruppe auf einen Generator der zweiten Gruppe ab, so ist der Isomorphismus bereits vollständig definiert und somit gibt es

φ (n)

Möglichkeiten, einen Generator zu wählen, und diesen abzubilden.

Stimmt das?

michaL aktiv_icon

16:23 Uhr, 26.07.2017

Hallo,

> Dabei ist in mir eine neue Frage entstanden: Wie viele verschiedene Isomorphismen zwischen zwei zyklischen
> Gruppen der Ordnung n>0 kann es eigentlich überhaupt geben?
>
> Meiner Meinung nach müssten dies

φ (n)^{2}

sein
> [...]
> Stimmt das?

Wie viele zählst du auf diese Weise doppelt?

Mfg Michael

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