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Isoperimetrisches Problem für Dreiecke

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges

bilberg aktiv_icon

22:39 Uhr, 23.04.2011

Aufgabe 8: (Isoperimetrisches Problem für Dreiecke über einer festen Basis AB)

Beweisen Sie den folgenden Satz: Unter allen Dreiecken mit gegebenem konstantem Umfang u, die über einer festen Basis AB konstruiert sind, ist das gleichschenklige Dreieck das flächengrößte.

Hier habe ich gar keine Ahnung.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Aurel

13:41 Uhr, 24.04.2011

www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2010/math/th_d_geom/serie2_atdg.pdf

Aurel

02:13 Uhr, 25.04.2011

Gegeben ist
Umfang

U

= c

Die Seiten des Dreiecks seien :

c, a, b

Die Fläche

A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h

ist bei konstantem

c

maximal wenn die Höhe

h

maximal ist

Betrachte die Zkizze im hinzugefügten Bild:

h

sei die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks

In der Skizze wurde die Höhe

h

des gleichschenkligen Dreiecks um

d x

nach rechts verschoben und somit ein neues Dreieck ABC'mit den Seiten

c, a', b'

festgelegt.

Aus

U = a + b + c

ist konstant und

c

ist konstant folgt

a + b

ist konstant

Aus

a' + b' > a + b

folgt, dass das gleichschenklige Dreieck bei gegebenem

U

und

c

die größte Fläche hat, weil:

aus

a' + b' > a + b

folgt, dass, wenn

a' + b' = a + b

konstant sein soll, die Höhe von ABC' kleiner als

h

sein müsste. Wird also

h

nach rechts (oder links) verschoben, so verringert sich die Höhe des neu entstehenden Dreiecks, wenn

a' + b' = a + b

konstant bleiben sollen. Die Dreiecksfläche ist aber bei konstantem

c

maximal, wenn

h

maximal ist.

Es gilt also zu beweisen, dass

a' + b' > a + b

Beweis:

Für

a, b > 0

gilt:

a' + b' > a + b \Leftrightarrow a'^{2} + b'^{2} > a^{2} + b^{2}

a^{2} + b^{2} = h^{2} + \frac{c^{2}}{4} + h^{2} + \frac{c^{2}}{4} = 2 h^{2} + \frac{c^{2}}{2}

a'^{2} + b'^{2} = h^{2} + {(\frac{c}{2} - d x)}^{2} + h^{2} + {(\frac{c}{2} + d x)}^{2} = 2 h^{2} + \frac{c^{2}}{2} + {d x}^{2}

wir sehen

a'^{2} + b'^{2} > a^{2} + b^{2}

und somit

a' + b' > a + b

w . z . b . w .

wir haben also gezeigt, dass, wenn

h

bei einem gleichschenkligen Dreieck nach rechts verschoben wird (entsprechend kann man das für eine Verschiebung von

h

nach links zeigen)

a' + b'

größer wird. Genau genommen wird bei der Verschiebung von

h

bis zum Erhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

b'

größer und

a'

kleiner, jedoch ist die Zunahme von

b'

größer als die Abnahme von

a',

sodass

a' + b'

dennoch in Summe zunimmt.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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bilberg aktiv_icon

12:37 Uhr, 25.04.2011

WOw.
super Danke.
hast auch super erklärt, habe es auch verstanden.

mfg

Yokozuna aktiv_icon

13:04 Uhr, 25.04.2011

Sorry,

aber die Behauptung:
Für

a, b > 0

gilt:

a' + b' > a + b \Leftrightarrow a'^{2} + b'^{2} > a^{2} + b^{2}

ist falsch,

z . B

. gilt

10 = 5 + 5 > 1 + 8 = 9,

aber es ist

50 = 5^{2} + 5^{2} < 1^{2} + 8^{2} = 65

Viele Grüße
Yokozuna

Aurel

13:44 Uhr, 25.04.2011

Hallo Bilberg und Yokozuna

Ich habe mich soeben eingeloggt, um die obige Behauptung zu korrigieren und sehe Yokozuna hat erfreulicherweise den Fehler bereits entdeckt.

Wenn man den Beweis nach obigem Schema führen will, müsste man also die Wurzeln in der Ungleichung belassen, also:

\sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} - d x)}^{2}} + \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} + d x)}^{2}} > \sqrt{h^{2} + \frac{c^{2}}{4}} + \sqrt{h^{2} + \frac{c^{2}}{4}}

ich hab da versucht etwas weiter zu rechnen, aber das wir ziemlich unübersichtlich - sorry

vielleicht hilft ja mein Link weiter

Aurel

14:02 Uhr, 25.04.2011

Hmm, vielleicht ists doch nicht so kompliziert, folgendes zu zeigen:

\sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} - d x)}^{2}} + \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} + d x)}^{2}} > \sqrt{h^{2} + \frac{c^{2}}{4}} + \sqrt{h^{2} + \frac{c^{2}}{4}}

vielleicht fällt euch da was ein, hab grad wenig Zeit....

Yokozuna aktiv_icon

00:38 Uhr, 26.04.2011

Hallo,

ich mußte heute Mittag weg und hatte deshalb keine Zeit mehr, um über das Problem nachzudenken.
a soll die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sein und

c

die Basis. Es gilt dann natürlich

b = a

h_{0}

soll die Höhe des gleichseitigen Dreiecks sein.

a'

und

b'

sollen die Seitenlängen eines beliebigen Dreiecks sein (mit

c

als Basis) und

h

die Höhe dieses Dreiecks. Wir können folgende 4 Gleichungen aufstellen:
I:

a' + b' = 2 a

II:

a'^{2} = h^{2} + {(\frac{c}{2} + x)}^{2}

III:

b'^{2} = h^{2} + {(\frac{c}{2} - x)}^{2}

IV:

a^{2} = h_{0}^{2} + \frac{c^{2}}{4}

Das Ziel ist es, die Variablen

a', b'

und

c

zu eliminieren.
Aus I folgt:

b' = 2 a - a'

. Dies setzen wir in III ein:

{(2 a - a')}^{2} = 4 a^{2} - 4 a \cdot a' + a'^{2} = h^{2} + {(\frac{c}{2} - x)}^{2}

Nun setzen wir II in die letzte Gleichung ein:

4 a^{2} - 4 a \cdot a' + h^{2} + {(\frac{c}{2} + x)}^{2} = h^{2} + {(\frac{c}{2} - x)}^{2}

Das

h^{2}

fällt heraus und wir lösen die Klammern auf:

4 a^{2} - 4 a \cdot a' + \frac{c^{2}}{4} + c \cdot x + x^{2} = \frac{c^{2}}{4} - c \cdot x + x^{2}

Es fällt nun auch

\frac{c^{2}}{4}

und

x^{2}

heraus:

4 a^{2} - 4 a \cdot a' + 2 c \cdot x = 0 \Rightarrow 4 a \cdot a' = 4 a^{2} + 2 c \cdot x \Rightarrow a' = a + \frac{c \cdot x}{2 a}

Dieses

a'

setzen wir nun in II ein:

{(a + \frac{c \cdot x}{2 a})}^{2} = a^{2} + c \cdot x + \frac{c^{2} \cdot x^{2}}{4 a^{2}} = h^{2} + {(\frac{c}{2} + x)}^{2} = h^{2} + \frac{c^{2}}{4} + c \cdot x + x^{2}

Diese Gleichung lösen wir nach

h^{2}

auf

(c \cdot x

fällt heraus):

h^{2} = a^{2} + \frac{c^{2} \cdot x^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c^{2}}{4} - x^{2}

Nun lösen wir die Gleichung IV nach

\frac{c^{2}}{4}

auf:

\frac{c^{2}}{4} = a^{2} - h_{0}^{2}

. Dies setzen wir in die letzte Gleichung ein:

h^{2} = a^{2} + (a^{2} - h_{0}^{2}) \cdot \frac{x^{2}}{a^{2}} - (a^{2} - h_{0}^{2}) - x^{2} = a^{2} + x^{2} - h_{0}^{2} \cdot \frac{x^{2}}{a^{2}} - a^{2} + h_{0}^{2} - x^{2} \Rightarrow

h^{2} = h_{0}^{2} \cdot (1 - \frac{x^{2}}{a^{2}})

oder

h = h_{0} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}

Für

x = 0

erhält man das gleichseitige Dreieck mit

h = h_{0}

und für

x \neq 0

ist die Wurzel

\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} < 1

und dies bedeutet

h < h_{0}

für

x \neq 0

.
Die Gleichung

h = h_{0} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}

ist nichts anderes als eine nach

y

aufgelöste Ellipsengleichung:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y = \pm b \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}

Man braucht nur

h = y

und

h_{0} = b

zu setzen.

Viele Grüße
Yokozuna

bilberg aktiv_icon

01:03 Uhr, 26.04.2011

hallo

Danke. gehört Skizze von Aurel dazu, also so als Veranschaulichung

mfg

Aurel

01:45 Uhr, 26.04.2011

Âlso es gilt folgendes zu zeigen:

\sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} - d x)}^{2}} + \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} + d x)}^{2}} > \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}} + \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}}

folgende Grundüberlegung:

10^{2} = 100

{(10 - 1)}^{2} = 81

{(10 + 1)}^{2} = 121

man sieht

121

ist von

100

weiter entfernt als

81

von

100

\sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} - d x)}^{2}} - \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}} + \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2} + d x)}^{2}} - \sqrt{h^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}} > 0

wir überprüfen, ob obige Grundüberlegung allg. gilt:

{(\frac{c}{2})}^{2} - {(\frac{c}{2} - d x)}^{2} < {(\frac{c}{2} + d x)}^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2} \Leftrightarrow

- {d x}^{2} < {d x}^{2}

\Rightarrow

sie gilt

die obigen Klammern seien von links nach rechts bezeichnet mit:

K 1, K 2, K 3, K 4

Auf Grund der vorangegangenen Überlegungen folgt:

Die Differenz

K 1 - K 2

ist negativ jedoch vom Betrtag kleiner als die positive Differenz

K 3 - K 4

.
daraus folgt

K 1 - K 2 + K 3 - K 4 > 0

w . z . b . w .

Hoffentlich hat sich da nicht wieder ein Fehler eingeschlichen :-)

Aurel

01:55 Uhr, 26.04.2011

"gehört Skizze von Aurel dazu, also so als Veranschaulichung "

Nein meine Skizze passt nicht zu Jokozunas Rechenweg, bei ihm die Höhen der Dreiecke

c, a, b

und

c, a', b'

unterschiedlich sind bei mir aber gleich.

Atlantik aktiv_icon

06:23 Uhr, 26.04.2011

Hallo,

ich stelle eine Zeichnung ein,wo anschaulich gezeigt ist, dass unter allen Dreiecken mit gegebenem konstantem Umfang

u,

die über einer festen Basis AB konstruiert sind,das gleichschenklige Dreieck das flächengrößte ist.

Die Ecken über der festen Basis beschreiben eine Ellipse.

Alles Gute

Atlantik

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Atlantik aktiv_icon

06:24 Uhr, 26.04.2011

Hallo,
vielleicht gibt es da ja auch noch einen Beweis, der in Richtung Extremwert geht.

mfG

Atlantik

Aurel

12:27 Uhr, 26.04.2011

Ich sehe gerade die 6 Zeile von unten meines letzen Beitrags ist etwas verwirrend formuliert, es solte besser heißen:
Die obigen 6 Wurzeln seien mit

K 1, K 2, K 3, K 4

bezeichnet

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