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Ist 1/z Analytisch ??

Universität / Fachhochschule

Tags: Analytisch oder nicht

MrJegger aktiv_icon

10:39 Uhr, 30.06.2014

Ich verstehe nicht ob

f (z) = \frac{1}{z} m i t z \in ℂ - 0

analytisch ist oder nicht.
Auf der einen Seite kann man sagen,

\int_{α} \frac{1}{z} d z = j 2 π

mit

α = e^{j ϕ} ϕ \in [0 \dots 2 π [

Ergo,

f (z) = \frac{1}{z}

ist nicht analytisch.
Auf der anderen Seite kann man schreiben:

\frac{1}{z} = \frac{x - j y}{x^{2} + y^{2}}

Wobei

z = x + j y

gelten soll sowie

u (x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

und

v (x, y) = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

Für die Partiellen ableitungen bekomme ich:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{2 x y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{2 x y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

\frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{2 y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

Es muss jetzt gelten:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}

- \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}

Für die erste können wir mal schauen unter welchen Bedingungen die beiden Terme gleich sind. Dafür setzten wir die beiden Therme gleich:

\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = - \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{2 y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \Leftrightarrow

\frac{2}{x^{2} + y^{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \Leftrightarrow

\frac{1}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}

Womit ohne Bedingung Übereinstimmung besteht.
Man könnte folgern

\frac{1}{z}

ist also analytisch.
Habe ich falsch abgeleitet ??
Oder was ist da los ??
Man kann glaube ich sogar sagen

1 / z z \in ℂ - 0

ist ein Sterngebiet mit Sternmittelpunkt

\infty + j \infty

(Riemannsche Zahlenkugel)

DrBoogie aktiv_icon

11:29 Uhr, 30.06.2014

Natürlich ist

1 / z

überall differenzierbar, außer

0

.

"Ergo,

f (z) = 1 / z

ist nicht analytisch."

Wieso das denn?

ℂ \ {0}

ist kein Sterngebiet.

DrBoogie aktiv_icon

11:32 Uhr, 30.06.2014

"(Riemannsche Zahlenkugel)"

Ne-ne, nicht so schnell. Auf der Riemannschen Kugel gilt der Satz von Cauchy nicht.
Kannst hier darüber lesen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Fl%C3%A4che

MrJegger aktiv_icon

11:36 Uhr, 30.06.2014

Hallo DrBoogie,

vielen Dank für die Hilfe.

Wenn ich mir

D : ℂ - 0

vorstelle, und mir die riemannsche Zahlenkugel drüber denke, dann kann ich von der Spitze der Kugel

\infty + j \infty

jeden Punkt von D mit einer Geraden verbinden, ohne über die Null gehen zu müssen.

DrBoogie aktiv_icon

11:38 Uhr, 30.06.2014

"Wenn ich mir

D : ℂ - 0

vorstelle, und mir die riemannsche Zahlenkugel drüber denke, dann kann ich von der Spitze der Kugel jeden Punkt von

D

mit einer Geraden verbinden, ohne über die Null gehen zu müssen."

Das stimmt zwar, hilft aber nicht - siehe meinen Kommentar oben.

MrJegger aktiv_icon

12:14 Uhr, 30.06.2014

Okay, das ist sicherlich richtig.

Aber klar ist es mir nicht...
Zumindest nicht weshalb:
Zitat:
Der cauchysche Integralsatz und die cauchysche Integralformel, zwei zentrale Sätze der Funktionentheorie der komplexen Ebene, lassen sich nicht analog auf riemannschen Flächen beweisen.

DrBoogie aktiv_icon

12:17 Uhr, 30.06.2014

Ich fürchte, dafür existiert keine halbwegs einfache Erklärung.

MrJegger aktiv_icon

11:15 Uhr, 01.07.2014

So langsam glaube ich zu wissen was mich draus gebracht hat:
Der Satz von Cauchy:
Gegeben:

f : D \to ℂ, D \subset c, s t e t i g

Wenn gilt:

\oint_{α} f (z) d z = 0

Dann hat f eine Stammfunktion in D.Wobei

α

in D liegen muss.

Dabei sind auf ihrem Definitionsbereich analytische Funktionen in jedem Fall auch stetig,(NACHTRAG:Jetzt hab ichs, das ist Dein Argeument =), Du hast Recht =).
Die Cauchy Riemann Differentialgleichungen sind nur eine notwendige Bedingung für
komplexe Differenzierbarkeit. )
aber nicht jede stetige Funktion ist analytisch.

Ich würde also sagen

f (z) = \frac{1}{z}

ist außer bei der Null analytisch.
(Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen)
Jede analytische Funktion ist stetig weil sie differenzierbar ist.

\frac{1}{z}

ist bei Null
unstetig und damit nicht analytisch.

Festegestellt habe ich, dass

\oint_{α} \frac{1}{z} d z = j 2 π

nicht null wird, wenn man den nicht analytischen Punkt umschließt.

Was ich jetzt folgern kann ist lediglich dass:

f (z) = \frac{1}{z}

keine Stammfunktion in

ℂ - 0

hat. Aber die Folgerung das

\frac{1}{z}

ℂ - 0

deswegen nicht analytisch wäre ist natürlich total für die Katz...

Ergo muss man den Logarithmus zum Beispiel auf der negativen reellen achse einschränken.

Die Definition mit dem Sterngebiet finde ich trotzdem irgendwie unschön wegen dem Punkt

\infty + j \infty

.

Ich vermute Sterngebiete sorgen dafür, dass man Polstellen niemals beim Integrieren im Innern des Integrals hat.... Das Innere und das Äußere hat mit dem Punkt

\infty + j \infty

zu tuen... Außen ist der Teil auf der Riemannschen Zahlenkugel, welcher den Punkt

\infty + j \infty

hat. Ich glaube das ist schon nahe an einem Beweis =) Okay passt.

MrJegger aktiv_icon

21:33 Uhr, 01.07.2014

Gut ich mach die Frage mal zu.
Vielen Dank für die tolle Hilfe =).

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