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Ist Einheitskugel um Menge von Folgen kompakt?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Folgen, kompaktheit, Vektorraum

 
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philips

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10:04 Uhr, 30.04.2011

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Hallo,

habe ein kleines Problem eine geeignete Überdeckung zu finden...

Sei A={x:ℕ→ℝ:supn∈ℕ|x(n)|<∞} ein normierter Vektorraum (also eine normierte Menge von Folgen) mit der Norm ||x||=supn∈ℕ|x(n)| und sei B1(0)={x∈A:||x||≤1} die Einheitskugel um Null in A.

Ich will nun zeigen, dass B1(0) nicht kompakt ist und suche daher eine offene Überdeckung von B1(0). Mir hat jemand gesagt, das ich mir \epsilon-Umgebungen von A anschauen soll und da ziemlich leicht eine offene Überdeckung finde, ich komme aber nicht drauf.

Ich möchte die Überdeckung so wählen, dass jeweil xn=(1,0,0,0,...) in einer Menge der Überdekcung ist und yn=(0,1,0,0,...) in der nächsten usw. um dann zu zeigen, dass es keine endliche Teilüberdeckung gibt.

Hat jemand eine Idee, wie ich die offene Überdeckung wählen kann?

Angeblich kann man mit dieser Überdekcung auch ganz leicht zeigen, dass B1(0) nicht totalbeschränkt ist.

Grüße,
philips
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Sina86

Sina86

11:34 Uhr, 30.04.2011

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Hi,

ich glaub das ist so ein typisches Problem mit dem Wald sehen trotz vieler Bäume... ;-)
Setze y=(1,0,0,...),x=(0,1,0,...), dann ist ∥x-y∥=∥(-1,1,0,...)∥=1 und somit y∉Bɛ(x) für ɛ<1.

Lieben Gruß
Sina
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Sina86

Sina86

11:34 Uhr, 30.04.2011

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Hi,

ich glaub das ist so ein typisches Problem mit dem Wald sehen trotz vieler Bäume... ;-)
Setze y=(1,0,0,...),x=(0,1,0,...), dann ist ∥x-y∥=∥(-1,1,0,...)∥=1 und somit y∉Bɛ(x) für ɛ<1.

Lieben Gruß
Sina
Frage beantwortet
philips

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21:43 Uhr, 01.05.2011

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Autsch... Hätte man wirklich drauf kommen können :-)

Vielen Dank.

Liebe Grüße,
philips