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Ist die Matrix diagonalisierbar?

Universität / Fachhochschule

Tags: Determinant, Matrizenrechnung

sam24 aktiv_icon

13:27 Uhr, 14.08.2019

Hallo Leute ich komme bei der Aufgabe leider nicht weiter.

Aufgabenstellung:

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

a)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.

b)

Ist A diagonalisierbar? Falls ja, Bestimmen Sie die Matritzen

T, T^{- 1}

und

D

der Zerlegung

A = T \cdot D \cdot T^{- 1}

C)

Die Bilder der Abbildung

f (\vec{x}) = A \cdot \vec{x}

bilden einen Untervektorraum des

R^{3}

. Geben Sie eine Gleichung im impliziterForman, die den Untervektorraum beschreibt.

Ansatz

a)

Eigenwert:

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

Entlang der diagonale schreibe ich jeweils

- λ

etwa so:

A_{λ} = (\begin{matrix} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{matrix})

Jetzt die determinante bilden.

Ich entwickle die determinante in der 3. Zeile.

det (A_{λ}) = (2 - λ) | (\begin{matrix} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{matrix}) |

= (2 - λ) \cdot ((1 - λ) \cdot (1 - λ) - 1)

= (2 - λ) \cdot ({(1 - λ)}^{2} - 1)

λ_{1} = 2

λ_{2} = 0

Frage :warum hat

λ

an der Stelle 2 doppelte Nullstelle. Laut meiner Rechnung hat

λ

nur zwei Nullstelle.

In der Lösung steht

λ_{1,2} = 2

und

λ_{3} = 0

.

Eigenvektoren:

Ansatz:

λ_{1} = 2

A_{λ} = 2 = (\begin{matrix} 1 - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - 2 \end{matrix})

A_{λ} = 2 = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Jetzt die 2. Zeile

+

mit der 1. Zeile

Also:

A_{λ = 2} = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

1.zeile:

- x + y = 0

- x = - y

x = y

da für

y

und

z

keinen Wert existiert setzte ich für

y = t

und

z = v

ein

ALSO:

y = t

z = v

x = t

\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} t \\ t \\ v \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + v \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Die Eigenvektoren für

λ = 2

sind:

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Jetzt für

λ = 0 :

A_{λ = 2} = (\begin{matrix} 1 - 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 - 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - 0 \end{matrix})

A_{λ} = (\begin{matrix} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{matrix})

Zusammgefasst:

A_{λ = 0} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

Zweite Zeile - erste Zeile ergibt:

A_{λ = 0} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

1.Zeile

x + y = 0

x = - y

2. Zeile

y

hat keinen wert also:

y = t

3.Zeile

2 z = 0

z = 0

x = - t

y = t

z = 0

\vec{x} = (\begin{matrix} - t \\ t \\ 0 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

b)

Da ich in meiner Rechnung nur zwei Nullstellen habe bin ich davon ausgegangen das die Matrix nicht diagonalisier bar ist . Aber in der Lösung steht die Matrix ist diagonalisierbar. Aber warum ?

A =

TDT^(-1)

Wie berechne ich die inverse Matrix. Habe mit dieser Formel versucht :

T^{- 1} = \frac{1}{det (T)}

*Adj(T), wobei

T

die Transformationsmatrix, deren Spalten die Basen der Eigenräume sind.

für

c

habe ich keinen Ansatz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:21 Uhr, 14.08.2019

Hallo,

Eigenwerte und -vektoren sind korrekt.

> Da ich in meiner Rechnung nur zwei Nullstellen habe bin ich davon ausgegangen das die Matrix nicht
> diagonalisier bar ist. Aber in der Lösung steht die Matrix ist diagonalisierbar. Aber warum ?

Hm, warum bemühst du dafür nicht deine Mitschrift (dein Skript oder auch ein Buch)?

Sicher habt ihr so ein Ergebnis wie das folgende in der Vorlesung erarbeitet:

Eine Matrix

A \in K^{n \times n}

ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis des

K^{n}

aus Eigenvektoren von

A

gibt.
Und das ist hier der Fall:

K^{3}

ist die (direkte) Summe der beiden Eigenräume von

A

.

Die Aufgabe b) ist eine typische Rechnung, wie man sie in der Übung zur Vorlesung mindestens einmal gezeigt bekommt (und aus dem Beweis zur obigen Aussage resultiert). [Frech: Hast du die Vorlesung/Übung überhaupt besucht???]

Anleitung: Du sortierst die Eigenvektoren der einzelnen Eigenwerte (also je eine Basis davon) zu einer Basis des Gesamtraums. Hier etwa

B := {(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}),}

.
(Die Reihenfolge ist zwar beliebig, wirkt sich dann aber auf die Reihenfolge der Eigenwerte in der Diagonalmatrix aus.)

Die Matrix

T^{}

ist dann die Basiswechselmatrix, die eine Umrechnung von der Standardbasis

E

in die Basis

B

aus Eigenvektoren ermöglicht: Aus dem Vektor

(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

(in Basis

E

ein Eigenvektor von

A

) würde dann der Vektor

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

. (Jedenfalls muss das die Matrix

T

leisten.)

Die inverse Matrix kann man viel einfacher gewinnen: Ihre Spalten bestehen gerade aus den Basisvektoren der (Eigenvektor-)Basis

B

! Es gilt also hier:

T^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

.

Jetzt musst du noch

T^{- 1}

invertieren, um

T

zu berechnen. Ich hoffe inständig, dass du selbst weißt, wie man eine Matrix invertiert oder aber wenigstens in der Lage bist, das selbst zu recherchieren.
Es gibt online-Rechner, die dein Ergebnis überprüfen könnten. Wenn du unsicher bist, dann frag halt nochmal nach.

Mfg Michael

Respon

14:27 Uhr, 14.08.2019

" Frage :warum hat λ an der Stelle 2 doppelte Nullstelle. Laut meiner Rechnung hat λ nur zwei Nullstelle. "

(2 - λ) \cdot ({(1 - λ)}^{2} - 1) = 0

\Rightarrow

2 - λ = 0 \Rightarrow λ_{1} = 2

{(1 - λ)}^{2} - 1 = 0

\Rightarrow

{(1 - λ)}^{2} = 1

1 - λ = \pm 1

λ_{2} = 2

λ_{3} = 0

HAL9000

14:32 Uhr, 14.08.2019

Es würde mich nicht überraschen, wenn in der Vorlesung auch noch folgende Eigenschaft erwähnt wurde:

Hermitesche (im reellen gleichbedeutend mit symmetrische) Matrizen sind stets diagonalisierbar, mit sämtlich reellen Eigenwerten.

Ist hier offenkundig anwendbar. Insofern ist es keine Überraschung, dass der Eigenwert 2 der algebraischen Vielfachheit 2 auch einen Eigenraum der Dimension 2 hat - das muss so sein der Symmetrie wegen.

sam24 aktiv_icon

17:16 Uhr, 14.08.2019

Hallo

Irgendwie komme ich nicht weiter.

Hier mein Ansatz:

T^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

Adjunkten verfahren:

A^{- 1} = \frac{1}{det (A)} \cdot

Adj(A)

Die Determinante wird in der dritte Zeile angewandt.

Also:

det (T^{- 1}) = - 1 \cdot | (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) | = - 1 (1 - (- 1)) = - 2

jetzt die Inverserse Matrix :

det (A_{11}) = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = - 1

det (A_{12}) = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0

det (A_{13}) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1

det (A_{21}) = 0 \cdot 0 - - 1 = 1 = 1

det (A_{22}) = 1 \cdot 0 - - 1 \cdot 0 = 0

det (A_{23}) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1

det (A_{31}) = 0 \cdot 1 - - 1 \cdot 0 = 0

det (A_{32}) = 1 \cdot 1 - - 1 \cdot 1 = 2

det (A_{33}) = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0

Jetzt alles in den Matrix einsetzen
Dabei achte ich auf das Vorzeichen.

(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix})

T^{- 1} = \frac{1}{- 2} \cdot {(\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & - 2 & 0 \end{matrix})}^{T}

jetzt die Matrix Transpornieren. Das heißt Zeile und Spalte vertauschen.

Also :

T^{- 1} = \frac{1}{- 2} \cdot {(\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & - 2 & 0 \end{matrix})}^{T}

= \frac{1}{- 2} \cdot (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})

Aber irgend etwas stimmt hier nicht der Online Rechner zeigt mir ein anderes Ergebniss .

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix})

In meiner Lösung steht.

T = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{- 2} & 0 \end{matrix})

michaL aktiv_icon

18:04 Uhr, 14.08.2019

Hallo,

@sam24:
Ich habe mir das Verfahren nicht angeschaut. Allerdings beschreibst du, dass du transponieren willst. Das hat nicht geklappt. Vielleicht liegt es daran.

Allerdings frage ich mich, warum du ein neues Verfahren für ein eigentlich schon bekanntes Problem lernen möchtest.

Das Invertieren speziell von Matrix

T^{- 1}

kann durch den Gaussalgorithmus erfolgen, wenn man auf die "rechte Seite" die Einheitsmatrix schreibt:

\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & - 1 & ∣ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & ∣ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ∣ & 0 & 0 & 1 \end{array}

.
Darauf Gauss-Seidel, bis die Einheitsmatrix "links" steht. (Alternativ geht das auch mit "oben/unten" statt "links/rechts", je nachdem, wie es leichter geht.)
Nachdem du vielleicht dieses Verfahren probiert hast, kannst du dir ja mal die Frage stellen, warum das so funktioniert!

@HAL9000: Ich fürchte, symmetrische/hermitesche Matrizen kommen erst später dran.

Mfg Michael

sam24 aktiv_icon

18:17 Uhr, 14.08.2019

>Allerdings frage ich mich, warum du ein neues Verfahren für ein eigentlich schon bekanntes Problem lernen möchtest.

Ich habe bis jetzt in der Übung immer den Adjunkten verfahren angewandt. Bis jetzt hat es immer geklappt außer bei der Aufgabe jetzt. Wie dem auch sei

. .

. ich versuch das jetzt mit Gaussalgorithmus.

ermanus aktiv_icon

18:29 Uhr, 14.08.2019

Hallo,
Michael hat deinen Fehler richtig erkannt. Den Adjunktensatz
zur Bestimmung einer inversen Matrix zu verwenden, ist sehr ineffizient.
Daher ist das von Michael vorgeschlagene Verfahren sicher günstiger.
Im Übrigen hast du das Problem, dass du für die Diagonalisierung
den Ausdruck

T A T^{- 1}

verwendest, wobei

T^{- 1}

die Matrix mit den
Eigenvektoren als Spalten sein soll. Das kann man sicher so machen,
aber ist doch eher kontraintuitiv.
Daher wird in vielen Büchern, Vorlesungen etc. stattdessen

T^{- 1} A T

genommen, wobei nun

T

die Matrix der Eigenvektoren ist.
So ist dies auch in deiner Musterlösung. In dieser ist aber zudem
noch dafür gesorgt worden, dass die Transformationsmatrix

T

orthogonal ist,
d.h. dass die Eigenvektoren ein Orthonormalsystem bilden: daher der
Divisor

\sqrt{2}

.
Gruß ermanuas

michaL aktiv_icon

19:00 Uhr, 14.08.2019

Hallo,

@sam24:

Du kannst das Verfahren meinetwegen auch weiterhin verwenden. Ich halte es aber ebenso für ineffizient wie ermanus (das tut ;-) ).
Schließlich musst du selbst herausfinden, welches Verfahren in welchen Fällen für dich das geeignete ist.

@ermanus:
Im posting des TE steht

A = T D T^{- 1}

, was zu der (auch[?] von mir bevorzugten) Schreibweise

D = T^{- 1} A T

passt. Bitte verwirr' ihn hier nicht unnötig. :-)

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

19:05 Uhr, 14.08.2019

@michaL: Oh, da habe ich wohl nicht richtig hingeguckt ;-)

sam24 aktiv_icon

13:09 Uhr, 15.08.2019

Hallo

hier die Rechnung :

Stellt euch vor es wäre nur eine Matrix. irgendwie bekomme ich beide Matritzen nicht unter einer Matrix.

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Rechenschritt 1: Beide Matrixen zweite zeile mit der erste zeile abziehen.

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Rechenschritt 2.
Zweite zeile mit 3. Zeile vertauschen.

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix})

Rechenschritt

3 : 3

. Zeile mit 2 teilen.

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix})

Rechenschritt

4 :

Jetzt die letzte zeile mit der ersten addieren

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix})

Also ist meine gesuchte

T :

T = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix})

Irgendwie stimmt es mit meiner Lösung nicht überein.

ermanus aktiv_icon

13:29 Uhr, 15.08.2019

Das, was du da ausgerechnet hast, ist doch

T^{- 1}

und nicht

T

sam24 aktiv_icon

13:33 Uhr, 15.08.2019

Ist

T^{- 1}

nicht die eigenvektoren ?

ermanus aktiv_icon

13:36 Uhr, 15.08.2019

Nein, sondern die Spalten von

T

bilden eine Basis aus Eigenvektoren.

sam24 aktiv_icon

14:04 Uhr, 15.08.2019

Ich bin jetzt gerade verwirrt.

ermanus aktiv_icon

14:43 Uhr, 15.08.2019

Wenn du nochmal in deine ursprüngliche Aufgabenstellung schaust,
dann steht dort unter b), so wie Michael es ja auch nochmal hervorhob

A = T \cdot D \cdot T^{- 1}

, also

D = T^{- 1} \cdot A \cdot T

.
Hierin ist

T

die Matrix, deren Spalten eine Basis aus Eigenvektoren sind.
Infolgedessen ist z.B.

T = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

eine geeignete Transformationsmatrix, deren Inverse du ja auch bereits
berechnet hast

T^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \end{array})

.
Wenn du nun

T^{- 1} \cdot A \cdot T

zur Kontrolle berechnest, siehst du,
dass alles so stimmig ist, während bei der Vertauschung der Rollen
von

T

und

T^{- 1}

nur Murks herauskommt.

sam24 aktiv_icon

15:01 Uhr, 15.08.2019

Achso

Also habe ich die Aufgabe gelöst und dabei habe ich

T

und

T^{- 1}

vertauscht?

ermanus aktiv_icon

15:04 Uhr, 15.08.2019

Ja :-)
Das war dein Hauptproblem.
Und wenn du nun die Vektoren von

T

durch ihre Länge teilst, sie also
normierst, so bekommst du die Aussage der Musterlösung.

sam24 aktiv_icon

15:06 Uhr, 15.08.2019

Was mich gerade verwirrt ist in der Lösung steht

T = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{matrix})

So wie ich das verstehe ist

\frac{1}{\sqrt{2}}

wurde aus dem Matrix ausgeklammert.

ermanus aktiv_icon

15:13 Uhr, 15.08.2019

Der Vektor

(1, 1, 0)^{T}

und ebenso

(- 1, 1, 0)^{T}

haben die Länge

\sqrt{2}

,
wenn man also diese Vektoren durch ihre Länge teilt, bekommt man die Matrix

T = (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{2} & 0 & - 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} & 0 & 1 / \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

.
Wenn du hier überall

1 / \sqrt{2}

rausziehst, bekommst du das Ergebnis.

sam24 aktiv_icon

15:26 Uhr, 15.08.2019

Was ich nicht ganz verstehe ist . Beide Vektoren haben die länge

\sqrt{2}

Der andere Vektor

{(0, 0, 1)}^{T}

hat die länge 1. Warum wird er nicht mit berücksichtigt. Was ich eigentlich sagen will ist, was mache ich wenn ich 3 unterschiedliche länge habe habe ich dann drei unterschiedliche Matrix. Also mir fehlt der Rechenweg. Das vektor normieren und länge ausrechnen das kann ich.

ermanus aktiv_icon

15:37 Uhr, 15.08.2019

Den Vektor

(0, 0, 1)^{T}

habe ich ja so gelassen, wie er war.
Du musst ja auch keinen "gemeinsamen" Faktor vor die Matrix ziehen.
Das ist doch nur eine Frage der Darstellung, was man halt "schöner" findet.
Du kannst doch die Matrix so angeben, wie ich um 15:13 Uhr.
Dass man überhaupt die Vektoren normiert, war ja zudem wohl auch
garnicht gefordert. Ich habe die Normierung nur noch nachgeschoben,
damit du siehst, wie die Musterlösung entstanden ist.
Da die Eigenvektoren, die du gefunden hast, paarweise orthogonal zueinander sind,
bilden sie nach der Normierung eine Orthonormalbasis des Raumes, d.h.
die Matrix

T

ist dann eine Orthogonalmatrix, deren Inverse

T^{- 1}

nichts anderes als die Transponierte

T^{T}

ist (

T^{T} = T^{- 1}

),
so dass man hier gar keine großartige Matrixinversion hätte durchführen müssen.
Gruß ermanus

sam24 aktiv_icon

15:44 Uhr, 15.08.2019

Achso. Kannst du mir bitte erklären wie ich die Teilaufgabe

c

machen muss?

HAL9000

15:54 Uhr, 15.08.2019

> Da die Eigenvektoren, die du gefunden hast, paarweise orthogonal zueinander sind,

Gut gewählt, was die beiden Eigenvektoren zu

λ = 2

betrifft, d.h. dass diese orthogonal aufeinander stehen. Dass aber diese beiden auch orthogonal zu dem dritten Eigenvektor stehen, ist kein Zufall sondern wieder Folge der Symmetrie von

A

. Laut Spekulation

> Ich fürchte, symmetrische/hermitesche Matrizen kommen erst später dran.

von michaL habt ihr das womöglich noch nicht besprochen, dann kommt das sicher noch (Stichwort "Hauptachsentransformation").

ermanus aktiv_icon

16:01 Uhr, 15.08.2019

Wie du sie machen musst, kann ich dir nicht sagen, wohl aber, wie
du sie machen kannst ;-)
Das Bild unter

f

wird aufgespannt von den Spaltenvektoren von

A

,
Der Unterraum, über den wir hier reden, ist also der
von

(1, 1, 0)^{T}, (0, 0, 2)^{T}

erzeugte Unterraum, der offenbar die Dimension 2 hat,
sich also als Lösungsmenge einer einzigen

(3 - 2 = 1)

linearen Gleichung

{(x, y, z)^{T} ∣ a x + b y + c z = 0}

darstellen lässt.
Wie könnte die Gleichung

a x + b y + c z = 0

aussehen?
Hier ist ein bisschen nachdenken und vielleicbt experimentieren gefragt ...

sam24 aktiv_icon

16:15 Uhr, 15.08.2019

Ich würde einfach raten.
Es gibt unendlich viele vektoren:

zb:

{(- 1, 1, 0)}^{T}

{(- 3, 3, 0)}^{T}

{(- 2, 2, 0)}^{T}

ermanus aktiv_icon

16:19 Uhr, 15.08.2019

Du sollst ja auch nicht DIE Gleichung angeben, sondern EINE.
Alle Gleichungen, die in Frage kommen, sind doch skalare Vielfache
voneinander, also nehmen wir deine erste:

y - x = 0

.
Gruß ermanus

sam24 aktiv_icon

16:22 Uhr, 15.08.2019

Vielen Vielen Dank ermanus

michaL aktiv_icon

17:45 Uhr, 15.08.2019

Hallo,

und ich hab selbst noch geschrieben, den OP nicht zu verwirren...
dabei hab ich das selber getan.
Mea culpa.

Also zum Verstehen:
Du hast eine Basis

B

aus Eigenvektoren. Üblicherweise arbeitet man mit der Standardbasis

E

.
Betrachtest du die Gleichung

D = T^{- 1} A T

(und keine andere!), so müssen Vektoren in Eigenvektorbasis durch

T

in Vektoren der Standardbasis umgewandelt werden.
Aus

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

(das entspricht dem 1. Vektor von

B

bzgl.

B

!!) muss also

(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

werden, usw.

Also hat die Matrix

T

gerade genau die Vektoren von

B

als Spalten.

Bitte nochmals um Entschuldigung.

Mfg Michael

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