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Ist diese Funktion Lebesgue-integrierbar?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Julian93 aktiv_icon

18:08 Uhr, 27.01.2017

Es sei

f (x) = \frac{sin (x \cdot y)}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \in ℝ^{2} \ {0},

ansonsten ist sie 0. Ist

f (x)

Lebesgue-integrierbar?

Wir haben den Tipp erhalten, dass

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{r} d λ = \infty

ist.

Ich würde hier auf Polarkoordinaten umsteigen mit

(x, y) = (r cos φ, r sin φ)

. Dann ist

f

genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{\infty} f (r cos φ, r sin φ) r d r d φ < \infty

.

Einsetzen und vereinfachen des inneren Integrals liefert die identische Darstellung

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{\infty} \frac{sin (r^{2} \cdot sin φ \cdot cos φ)}{r} d r d φ

.

Sieht nun jemand eine Möglichkeit, wie ich den Tipp richtig anwenden kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

23:46 Uhr, 28.01.2017

Hallo
erst mal

x^{2} + y^{2} = r^{2}

nicht

r

und |sin(igendwas)|<1
Gruß ledum

Julian93 aktiv_icon

13:05 Uhr, 29.01.2017

Nein, im Nennersteht zwar

r^{2},

aber es kürzt sich mit dem

r

neben dem Bruch zu

r

beziehungsweise

\frac{1}{r}

weg. Wieso betrachtest du hier den Betrag der sinus-Funktion?

ermanus aktiv_icon

14:33 Uhr, 29.01.2017

Hallo Julian93,

ich würde so vergehen:
nach dem gegebenen Hilfshinweis ist ja zu erwarten, dass

f

nicht Lebesgue-
integrierbar ist.

f

ist Lebesgue-interierbar genau dann, wenn

\int ∣ f ∣ d_{μ} < \infty

ist. Du willst also zeigen, dass dieses Integral

= \infty

ist.
Dazu wird es reichen zu zeigen, dass das "innere Integral" über

r

fast überall

= \infty

ist.
Wir definieren für jedes

φ

a = a (φ) = \sin (φ) \cos (φ)

und betrachten das "innere Integral"

I (a) := \int_{0}^{\infty} \frac{∣ \sin (r^{2} a) ∣}{r} d r

. Man muss nun zeigen,
dass

I (a)

für fast alle

a

unendlich ist. Hierzu überlege Dir,
dass

I (0) = 0

ist, aber für

a \neq 0

gilt

I (a) = I (1)

. Zeige daher, dass

I (1) = \infty

ist.

Gruß ermanus

Julian93 aktiv_icon

16:54 Uhr, 29.01.2017

Hallo! Vielen Dank für deine Antwort! Geht es darum, dass ich I(a) gegen das Integral abschätze, das in dem Tipp gegeben war? Oder inwieweit mache ich mir den Tipp zunutze?

ermanus aktiv_icon

17:14 Uhr, 29.01.2017

Also ich habe zugegebener Weise keinen so direkte Tippverwendung gefunden.
Da ich mich aber daran erinnert habe, dass man die Aussage des Tipps auf die
Divergenz der harmonischen Reihe zurückführen kann, habe ich

I (1) = \infty

durch einen Vergleich mit der harmonischen Reihe hergeleitet. Mit Hilfe einer
geeigneten Substitution bekommst Du

I (1) = 1 / 2 \int_{0}^{\infty} \frac{∣ \sin (s) ∣}{s} d s

. Letzteres Integral kannst Du nach
unten abschätzen durch eine Reihe

\sum_{1}^{\infty} \int_{I_{n}} \frac{1}{2 s} d s

,
wobei Du die Intervalle

I_{n}

so wählst, dass dort jeweils

∣ \sin (s) ∣ \geq 1 / 2

ist.
Auf diese Weise solltest Du eine Reihe bekommen, die sich so divergent verhält
wie die harmonische Reihe.

Julian93 aktiv_icon

17:17 Uhr, 29.01.2017

Das erscheint alles ziemlich schwierig. Gibt es da wirklich keinen leichteren Weg? Das hier ist eine alte Klausuraufgabe, und wenn das Ziel ist, zig Abschätzungen durchzuführen, die mir völlig unbekannt sind, na dann Prost Mahlzeit. :-D)

ermanus aktiv_icon

18:01 Uhr, 29.01.2017

Ist denn die Aufgabenstellung wirklich so?
Steht da vielleicht "

s g n (x y)

" statt "

\sin (x y)

" ?

Julian93 aktiv_icon

13:14 Uhr, 30.01.2017

Ah, jetzt erklärt sich einiges. Nein, dort steht "sign(xy)". Ich hielt es für einen Tippfehler und habe den sinus daraus gemacht, aber tatsächlich soll es wohl die Signumsfunktion sein. Das macht es natürlich irgendwie einfacher. :-D)

pwmeyer aktiv_icon

17:30 Uhr, 30.01.2017

Schade, wie es dastand, war es eine schöne Aufgabe, von ERmanus schön gelöst.

Julian93 aktiv_icon

19:28 Uhr, 30.01.2017

Ich lasse die Ursprungsfrage mal einfach so stehen. :-)

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