Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ist diese Relation eine Halbordnung?

Ist diese Relation eine Halbordnung?

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Antisymmetrie, Halbordnung, Reflexität, Relation., Transitivität

sasourii aktiv_icon

12:11 Uhr, 07.05.2019

Hallo,

als Aufgabe muss ich untersuchen, ob

R := {(x, y)

∈N×N

| x

teilt

y}

eine Halbordnung ist wenn gilt:

y = n \cdot x

. Mir ist klar, dass für eine Halbordnung die Relation reflexiv, transitiv und antisymmerisch sein muss. Jedoch ist mir nicht ganz klar, wie ich das bei dieser Relation überprüfe.

Ich möchte keine komplette Lösung zur Aufgabe ,sondern nur ein paar Tipps, wie ich das bei dieser Relation überprüfe.

)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

charly14 aktiv_icon

12:21 Uhr, 07.05.2019

Um zu überprüfen, ob deine Relation eine Halbordnung ist, musst du die verschiedenen Kriterien, die du schon aufgezählt hast abklappern.

In der Relation sind alle Tupel

(x, y),

enthalten, für die gilt

x

teilt

y,

also wie in deiner Gleichung gilt:

y = n \cdot x

für

n \in Z

.

Um zum beispiel die Antisymmetrie zu prüfen, musst du nun gucken, ob wenn

(x, y)

und

(y, x)

in deiner Relation enthalten sind folgt, dass

x = y

gilt.

Also, ob wenn gilt,

y = n \cdot x

und

x = h \cdot y

für

n, h \in Z

auch automatisch gilt, dass

x = y

ist. (Das ist ja die Voraussetzung, damit

R

antisymmetrisch ist. Wenn das also stimmt, ist

R

antisymmetrisch, wenn nicht, dann ist die Antisymmetrie nicht erfüllt.

Genau so gehst du bei den anderen Kriterien vor.

sasourii aktiv_icon

12:32 Uhr, 07.05.2019

Schonmal vielen Dank,

das heißt ja quasi , dass die Reflexitivität schon bewiesen ist? Oder stehe ich da komplett auf dem Schlauch?

Die Antisymmetrie ist dann ja rein logsich auch bewiesen, da

x = y

sein kann. Nur weiß ich nicht, wie ich das an dieser Stelle notieren soll. Wie würdest du das notieren?

charly14 aktiv_icon

12:48 Uhr, 07.05.2019

Genau richtig, Reflexivität ist erfüllt, da ja

x = 1 \cdot x

gilt und

1 \in Z

. In sofern bist du da schon fertig.

Für die Antisymmetrie stimmt das:
Wir haben

(x, y) \in R

und

(y, x) \in R,

das heißt es gilt

y = n \cdot x

und

x = h \cdot y

für

n, h \in Z

.
Wenn du für deine Gleichung von

x

nach

y

auflöst bekommst du:

y = \frac{x}{h}

Setzt du es in die andere Gleichung

\Rightarrow \frac{x}{h} = n \cdot x

und daraus folgt das

n = h = 1

. Also gilt

x = y

. Voraussetzung erfüllt.

Hoffe das hat es ein wenig deutlicher gemacht.

sasourii aktiv_icon

13:05 Uhr, 07.05.2019

Vielen Dank,

habe es jetzt verstanden und kann die Aufgabe fertig bearbeiten.

1468628

1468622

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?