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Ist diese Relation transitiv?

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Tags: Relation.

 
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Chris3424

Chris3424 aktiv_icon

17:33 Uhr, 25.06.2022

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Menge K:={1,2,3}, Relation R:={(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(3,2)}

Transitiv: ∀a,b,c ∈ A:(a,b)R(b,c)R(a,c)R

Meine Frage ist, ob diese Relation transitiv ist?

Grüße, Chris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

18:13 Uhr, 25.06.2022

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Hallo,

ist Dir nicht klar, dass Du das in wenigen Schritten explizit überprüfen kannst? Wofür brauchst Du Hilfe?

Gruß pwm
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:21 Uhr, 25.06.2022

Antworten
Hallo,

ok, den ersten Schritt auf dem Weg zur Beantwortung dieser Frage hast du getan: Du hast eure Definition angegeben.

Jetzt musst du die nur noch diese Definition anwenden.
Schlimmstenfalls musst du bei 5 Paaren eben 25 (=52) Durchläufe starten.

Beispiel: Nimm (a,b)=(1;2) und (b,c)=(1;2).
Daraus würde folgen: a=1, b=2, b=1=2
Hier kannst du aufhören, denn laut
> ∀a,b,c ∈ A:(a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R ⟹ (a,c) ∈ R
muss das erste Element des zweiten Paares (b) gleich dem zweiten Element des ersten Paares sein. Ist hier nicht gegeben. Muss also auch nicht geprüft werden.

Interessanter: (a,b)=(1;3), (b,c)=(3,2)
(Hier ist diese Bedingung erfüllt!)
Es gelten also 1R3 und 3R2. (Schreibweise wie bei 1<2 statt (1;2)<.)
Frage: Gilt auch 1R2?
Antwort: offenbar ja.

Und dieses Spiel musst du für alle Paare durchführen, wobei du diejenigen Paare, bei denen das mittlere Element nicht identisch ist, überspringen darfst.

Du bist entweder fertig, wenn bei allen Paaren der zweiten Sorte aus aRbRc auch aRc folgt. Dann (und nur dann) ist die Relation transitiv.
Oder wenn du eine Paarung findest, bei der zwar aRbRc gelten, aber eben nicht aRc.
In dem Fall wäre die Relation eben nicht transitiv.


Viel Erfolg!

Mfg Michael

PS: Warst du weder in der Vorlesung noch in der Übung?
Dort werden solche Beispiele üblicherweise besprochen.
Chris3424

Chris3424 aktiv_icon

18:39 Uhr, 25.06.2022

Antworten
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Habe diese Vorgehensweise leider bei meiner Online-Recherche nicht gefunden. Nein, ich war bei jeder Vorlesung. Übungen gab es bei uns nicht. Mein Professor war etwas eigen - um es politisch korrekt auszudrücken.

Grüße, Chris
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:47 Uhr, 25.06.2022

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Hallo,

> Nein, ich war bei jeder Vorlesung.

Sorry, ich habe wohl nach nein zu lesen aufgehört...

Mfg Michael


EDIT: Inhalt korrigiert
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.