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Ist es eine ganzrationale Funktion?

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Bruch, ganzrational, Grad, Koeffizient

kajah aktiv_icon

19:47 Uhr, 18.11.2012

Ich schreibe morgen eine Mathearbeit und verstehe noch nicht ganz, wie man entscheiden kann ob die Gleichung ganzrational ist oder nicht. Und wir sollen den grad und koeffizente angeben, wie macht man das genau ?

Aufgaben:
a)f(x)= (x-1)^2(x-7)
b)f(x) = 1+wurzel von 2 * x
c)f(x) = 1+2wurzel von x
d)f(x) = x^2-3/x
e)f(x) = x^2-x/3
f)f(x) = x^5 + wurzel von x

ich weiß irgendwie dass die potenz positiv sein muss und ich habe auch die lösungen davon, aber ich habe keine ahnung wie man darauf kommt. kann mir da vielleicht jemand helfen? :S

Lösung:

a) Ja : nur x^n
b) Ja : nur x^1
c) Nein : weil wurzel aus x = x 1/2
d) Nein : weil 3/x = 3*(1/x)^-1
e) Ja: x/3 = 1/3x^1
f) Nein : weil wurzel aus x

(Die lösungen hat uns die lehrerin gegebn, weiß aber nichts damit anzufangen :S)

KalleMarx aktiv_icon

20:45 Uhr, 18.11.2012

Moin Kajah!

Eine Potenzfunktion ist ganzrational, wenn alle Potenzen von

x

ausschließlich positive natürliche Zahlen sind. Anders ausgedrückt darf keine Potenz von

x

im Nenner stehen.
Die allgemeine ganzrationale Funktion ist also:

f (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + a_{n - 2} \cdot x^{n - 2} + . . . + a_{1} \cdot x + a_{0}

,
wobei

a_{n}, a_{n - 1} . . . a_{0} \in ℝ

(also Reelle Zahlen sind).

Die höchste Potenz von

x

einer rationalen Potenzfunktion gibt ihren Grad an. Die Funktion

u (x) = 3 x^{5} - 2 x^{2} + 4

ist zum Beispiel eine ganzrationale Funktion 5. Grades.

Enthält ein Potenzfunktionsterm entweder mindestens eine Potenz von

x

mit negativem ganzzahligen Exponenten oder taucht mindestens eine Potenz von

x

im Nenner auf, heißt die Funktion gebrochenrational. Beispiele sind:

g (x) = \frac{1}{x}

t (x) = \frac{2 x^{3} - 5}{x + 1}

h (x) = 4 x^{5} - \frac{3}{x^{2}}

.

Bei gebrochenrationalen Funktionen betrachtet man die Grade des Zähler- und des Nenner-Polynoms getrennt.

Lassen sich alle Potenzen im Nenner einer gebrochenrationalen Funktion herauskürzen, spricht man von einer unecht-gebrochenrationalen Funktion. Andernfalls ist sie echt-gebrochenrational.

Tauchen in einer Potenzfunktion Potenzen von

x

mit nicht ganzzahligen Exponenten auf, heißt die Funktion reell. Sie ist nicht rational.

Soweit erstmal klar?
Gruß - Kalle.

kajah aktiv_icon

23:57 Uhr, 18.11.2012

Danke, du hast mir echt weitergeholfen! das ende hab ich zwar nicht ganz verstanden, aber das liegt wohl eher daran dass es schon so spät ist :-D)
mal gucken, wie die arbeit wird ^^

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