Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Abbildungen.. Ist es richtig so?

Abbildungen.. Ist es richtig so?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
anonymous

anonymous

14:19 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Sind die folgenden Abbildungen Injektiv bzw. surjektiv?
Für f(1) habe ich injektiv
Für f(2) habe ich surjektiv
Für f(3) habe ich auch surjektiv...

Kann mir jmd. nennen, warum sie injektiv und nicht surjektiv und anders rum genauso.. Warum surjektiv und nicht injektiv... Wie kann man das am Besten beweisen..kann man da Werte eintragen? ...

IMG_20191106_155517

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Timo-11

Timo-11 aktiv_icon

15:09 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Das wichtigste ist, sich nochmal die Definitionen von Injektivität und Surjektivität vor Augen zu führen. Injektivität bedeutet, dass jedes Element in der Bildmenge nur maximal ein Urbild haben kann. Surjektivität hingegen, dass jedes Element in der Bildmenge mindestens ein Urbild haben muss.
Jetzt kann man sich die einzelnen Funktionen mal genauer angucken:

a) ℤ↦ℤ,x↦2x. Dass diese Abbildung injektiv ist, stimmt auch. Dies kann man anhand der Definition beweisen: Falls eine Funktion injektiv ist, muss daraus f(x)=f(y)→x=y folgen. f ersetzt durch die rechte Seite ergibt 2x=2y. Das kann man nun durch 2 teilen und erhält x=y. Das reicht bereits, denn man hat gezeigt, dass es nur ein Urbild geben kann und dieses auch in ℤ liegt. Die Abbildung ist jedoch nicht surjektiv, da in der Umkehrabbildung nicht jede ganze Zahl auf wieder eine ganze Zahl abgebildet wird (Beispiel für x=3: 3/2=1.5∉ℤ).

b) ℝ↦{x∈ℝ,x≥0},x↦∣x∣. Surjektivität fordert die Existenz mindestens eines Urbildes. Dies erreicht man durch Bildung der Umkehrfunktion und Vergleich mit dem Definitionsbereich. Die Betragsfunktion ist in 2 Abschnitte unterteilt, x<0 und x≥0. Für den ersten Fall ist die Umkehrfunktion f-1(x)=-x, für den zweiten f-1(x)=x. Beide Teile bilden auf ℝ ab, d.h. für jedes Bild kann definitiv ein Urbild gefunden werden. Das musste gezeigt werden. Das die Abbildung nicht injektiv ist liegt daran, dass z.B. ∣-1∣=∣1∣ ist, also zwei Elemente aus der Urbildmenge auf den gleichen Wert abbilden.

c) ℝ2↦ℝ,(x,y)↦x-y. Diese Abbildung kann nicht injektiv sein, da x-y=3-3=2-2=0 bereits die Bedingung für Injektivität verletzt. Sie ist jedoch surjektiv, da es für jedes Bild ein Wertepaar (x,y) gibt. Den Beweis hier müsste man natürlich noch ein bisschen formalisieren.

Ich hoffe, dass ist soweit verständlich und mir ist kein Fehler unterlaufen. Bei Fragen gerne fragen!