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Ist f(x) = Ax stetig (in der Euklidischen Norm)

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Matrix, Norm, Stetigkeit

iDog85 aktiv_icon

23:32 Uhr, 21.10.2009

Hallo liebe Foren-Gemeinde,

ich habe ein Verständnis-Problem. Die Frage lautet:

Es sei

x \in R^{n}

und

A \in R^{m x n}

und

f

die Funktion gegeben durch

f (x) :=

Ax. Dann ist

f

stetig (In der Euklidischen Norm).

Ich soll angeben, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Problem

1 :

Ich verstehe die Aussage "in der Euklidischen Norm" nicht. Stetigkeit im Allgemeinen verstehe ich, aber was soll diese Einschrankung auf die Euklidische Norm (was muss ich bedenken)?

Problem 2:
Wir haben ab und zu gezeigt, dass irgendeine Funktion an einer Stelle

x_{0}

nicht stetig ist, weil sie für verschiedene Folgen verschiedene Ergebnisse liefert.
Nun habe ich aber keinen Plan wie ich dies mit Matrizen zeigen soll.

Ich würde mich sehr über ein paar Tipps oder Ansätze (gar Lösungen) freuen.

Viele Grüße
Ilker

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Rentnerin

10:08 Uhr, 22.10.2009

Hallo,

zu Deinem Problem

1

:

"... Stetigkeit im Allgemeinen verstehe ich ..."

Dann wirst Du ja sicher wissen, dass man im Zusammenhang mit dem Begriff Stetigkeit entweder messen muss oder wissen muss, welche Teilmengen offen sind. Zunächst hast Du Vektorräume

R^{n}

und

R^{m}

und eine Abbildung

f : R^{n} \to R^{m}

. Die Euklidische Norm ordnet jedem Vektor "seine Länge" so zu, wie wir es anschaulich gewohnt sind (über den Pythagoras):

∣ ∣ : R^{k} \to R_{0}^{+}

mit

∣ (x_{1}, . . . x_{k}) ∣ = \sqrt{x_{1}^{2} + . . . + x_{k}^{2}}

.

Diese Norm induziert eine Metrik, mit der Du Abstände messen kannst:

d (x, y) = ∣ x - y ∣

. Erst jetzt kannst Du von Konvergenz und Stetigkeit sprechen.

Zu Deinem Problem

2

:

Matrizen stehen für lineare Abbildungen, also recht einfache Funktionen.

Gruß Rentnerin

Rentnerin

18:22 Uhr, 25.10.2009

Wenn Du nur angeben sollst, ob

f

stetig ist, dann solltest Du mit "ja" stimmen.

Oder sollst Du doch Deine Aussage beweisen?

iDog85 aktiv_icon

19:25 Uhr, 25.10.2009

Hallo Rentnerin,

ersteinmal ein Danke für die Antwort.
Stimmt ich soll nur angeben, ob

f

stetig ist. Kein Beweis nötig.
Ein Kommilitone hat mir folgenden Tipp gegeben:

g : R^{n} \to R

g (x) = {| | f (x) | |}_{2}

mit

f (x) =

Ax

Das passt denke ich. Da

A \in R^{m x n}

und

x \in R^{n}

beliebig, gibt es keine "Lücken" im Bild von

g (x)

(richtig?)

Jetzt hab ich doch noch Probleme, dies formal aufzuschreiben. Per Definition ist

g

stetig, wenn

g

in jedem Punkt von

R^{n}

stetig ist. Und

g

ist in einem Punkt

x_{0}

stetig, wenn folgendes gilt:

| | x - x_{0} | | < δ \Rightarrow | g (x) - g (x_{0}) | < ε

wobei

δ

von

x_{0}

und

ε

abhängt.

Intuitiv sage ich... na klar gibt es so ein

δ

. Den formalen Beweis zu sehen, würde nur gut tun :-)

Rentnerin

20:19 Uhr, 25.10.2009

Zum Verständnis:

Du hast

f : R^{n} \to R^{m}

und

∥_{2} : R^{m} \to R

und bildest die Verkettung

g = ∥_{2} \circ f

. Jetzt willst Du zeigen, dass

g

stetig ist. Aber wenn die Verkettung stetig ist, muss die innere Funktion

f

noch lange nicht stetig sein.

Zum Beweis der Stetigkeit von

f

:
Sei

x_{0} \in R^{n}

beliebig, dann ist zu zeigen, dass

∥ A \cdot x - A \cdot x_{0} ∥_{2} < ε \forall x ∣ ∥ x - x_{0} ∥_{2} < δ_{ε}

. Wegen der Linearität von

A

gilt

∥ A \cdot x - A \cdot x_{0} ∥_{2} = ∥ A \cdot (x - x_{0}) ∥_{2}

und es reicht damit zu zeigen:

∥ A \cdot (x - x_{0}) ∥_{2} < k \cdot ∥ x - x_{0} ∥_{2}

, dann kannst Du

δ_{ε} = \frac{ε}{k}

nehmen (

k > 0

).

Behauptung: Es gibt ein

k > 0

, dass für alle

y \in R^{n}

gilt:

∥ A \cdot y ∥_{2} < k \cdot ∥ y ∥_{2}

Beweis: Sei

y \in R^{n}

beliebig; wähle eine Basis

(v_{1}, . . . v_{n})

des

R^{n}

, dann läßt sich

y

eindeutig darstellen als

y = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i}

und damit

∥ A \cdot y ∥_{2} = ∥ A \cdot (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i}) ∥_{2} = ∥ \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot A \cdot v_{i} ∥_{2} \leq n \cdot m a x (∣ λ_{i} ∣) \cdot m a x ∥ A \cdot v_{i} ∥_{2}

.

Während

n

und

m a x ∥ A \cdot v_{i} ∥_{2}

lediglich Zahlen sind, ist

m a x (∣ λ_{i} ∣)

die Maximumsnorm auf

R^{n}

(hat nichts mit der

∥_{2}

-Norm zu tun!). Es gilt aber für jedes Paar von Normen - also auch für Maximums- und kanonischer Norm - auf den

R^{n}

∥ y ∥_{\infty} \leq s \cdot ∥ y ∥_{2}

mit

s > 0

(

∥_{\infty}

ist die Abkürzung für die Maximumsnorm).

Setze nun

k = n \cdot s \cdot m a x ∥ A \cdot v_{i} ∥_{2}

, dann ist die Behauptung bewiesen.

iDog85 aktiv_icon

20:26 Uhr, 26.10.2009

Suuuper. Das habe ich jetzt sogar (fast) verstanden. Den Teil mit der Maximum-Norm muss ich mir noch klar machen, aber ich denke das schaffe ich allein.

Vielen Dank nocheinmal.

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