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Ist mein Beweis richtig? det(AB)=det(A)*det(B)

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Determinanten

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asg-2014

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15:40 Uhr, 12.12.2016

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Hallo zusammen,

Aufgabe:
DET7. Beweisen Sie det(A⋅B)=det(A)⋅det(B) für Matrizen A,B∈ℝn×n

Skript:
Im Skript gibt es u. a. die folgenden Eigenschaften:

DET1. det(id)=1
DET2. Falls A zwei identische Zeilen hat, gilt det(A)=0.
DET3. Die Determinante ist linear in jeder Zeile, d.h. die beiden folgenden Bedingungen sind erfüllt:
- Angenommen es gibt ein i∈{1,...,n} , so dass A(i)+B(i)=C(i) , während
A(h)=B(h)=C(h) für alle h≠i. Dann gilt det(A)+det(B)=det(C).
- Angenommen es gibt ein i∈{1,...,n} und ein z∈ℝ, so dass B(i)=z⋅A(i), während B(h)=A(h) für alle h≠i. Dann gilt det(B)=z⋅det(A).

DET4. Wenn B aus A durch Vertauschen von zwei Zeilen entsteht, gilt det(B)=−det(A).

DET7. Diese Eigenschaft kann aus DET1-DET3 hergeleitet werden.

Beweis:

Da jede Matrix durch Zeilenoperationen aus der Einheitsmatrix id entsteht, zeige ich die drei Fälle der Zeilenoperationen:

1.A entsteht aus id durch Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl z.

⇒DET1undDET3det(A)=z⋅det(id)=z

A⋅B entsteht durch das Anwenden derselben Zeilenoperation auf B

⇒DET3det(A⋅B)=z⋅det(B)
Also gilt det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)

2.A entsteht aus id durch Addieren vom Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

det(A)=det(id)=1
det(A⋅B)=det(B) Hier weiß ich nicht, wie ich es begründen soll, bin mir aber sicher, dass die Gleichung stimmt. Wie kann man es denn begründen?

Also gilt det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)

3.A entsteht aus id durch Vertauschen von zwei Zeilen

⇒DET4det(A)=-det(id)=-1
det(A⋅B)=-det(B)
Also gilt det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)
q.e.d

Damit habe ich doch eigentlich DET7 für elementare Matrizen A bewiesen, aber wie könnte ich denn das allgemein für beliebige A,B∈ℝn×n beweisen? Ich stehe total auf dem Schlauch :(


Danke für jede Hilfe

Liebe Grüße Asg


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