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Ist mein Rechenweg korrekt? komplementärer Schlupf

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik, Lineare Optimierung, Simplex Algorithmus

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01:10 Uhr, 20.01.2018

Aufgabenstellung:

Gegeben:

I

max x 1 + 3 x 2 + 2 x 3

x 1 + x 2 \leq 3

x 1 - x 2 \leq 2

- 2 x 2 + x 3 \leq 4

x 1, x 2, x 3 \geq 0

Optimale Lösung:

x 1 = 0

x 2 = 3

x 3 = 10

Gesucht:Bestimmen Sie die optimale Lösung des dualen Programms anhand des komplementären Schlupfs!

Als erstes habe ich die Zielfunktion transponiert

I*

min 3 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3

y 1 + y 2 \geq 1

y 1 + y 2 - 2 y 3 \geq 3

y 3 \geq 2

y 1, y 2, y 3 \geq 0

Wenn ich

x 1

und

x 2

ins

x 1 - x 2 \leq 2

einsetze, dann sehe ich, dass diese Schlupf hat. Folglich habe ich

y 2 = 0

definiert.

Jetzt wende ich den Satz des komplementären Schlupfs an:

x 1 = 0, d . h

y 1 + y 2 \geq 1

hat Schlupf

\to

Ungleichung

x 2

ungleich

0, d . h

y 1 + y 2 - 2 y 3 = 3 \to

kein Schlupf, ergo Gleichung

x 3

ungleich

0, d . h

y 3 = 2 \to

kein Schlupf, ergo Gleichung

Jetzt setze ich

y 2

und

y 3

ins

y 1 + y 2 - 2 y 3 = 3

ein:

y 1 + 0 - 2 \cdot 2 = 3

y 1 = 7

Ergebnis:

y 1 = 7

y 2 = 0

y 3 = 2

Ist das korrekt was ich da gerechnet habe? Bin für jeden Tipp und Hinweis dankbar.

Im speziellen frage ich mich folgendes:

1.

x 1 - x 2 \leq 2

hat Schlupf. Weil es die zweite Nebenbedingung ist bedeutet es, dass

y 2 = 0

ist?
Wenn die dritte Nebenbedingung des primalen Problems Schlupf hätte, wäre dann beim dualen Problem

y 3 = 0

usw?

2.
Wie kann ich die Ergebnisse

x 1

bis

x 3

sowie

y 1

bis

y 3

interpretieren im Zusammenhang mit den sogenannten Schattenpreisen?
Spontan würde ich sagen:
wenn ich

x 1 + x 2 \leq 3

um eine Einheit erhöhe, dann erhöht sich der Umsatz um

y 1 = 7

wenn ich

x 1 - x 2 \leq 2

um eine Einheit erhöhe, dann erhöht sich der Umsatz um

y 2 = 0

. Also lohnt sich hier keine Erhöhung(Investition?) Maximum erreicht?
wenn ich

- 2 x 2 + x 3 \leq 4

um eine Einheit erhöhe, dann erhöht sich der Umsatz um

y 3 = 2

.

Danke Danke Danke für jeden Tipp, den ich mitnehmen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Enano

13:31 Uhr, 21.01.2018

Gem. des Primal müsste die 2. Bedingung des Dual nicht

y_{1} + y_{2} - 2 y_{3} \geq 3

sondern

y_{1} - y_{2} - 2 y_{3} \geq 3

sein.

"Ist das korrekt was ich da gerechnet habe?"

y_{1}, y_{2}

und

y_{3}

sind korrekt.

Damit die Problem- und Schlupfvariablen des Primal und Dual eindeutig unterschieden werden können, habe ich sie wie folgt gekennzeichnet:

Problemvariablen des Primal

: x_{1}, x_{2}, x_{3}

Schlupfvariablen des Primal

: x_{4}, x_{5}, x_{6}

Problemvariablen des Dual:

y_{1}, y_{2}, y_{3}

Schlupfvariablen des Dual:

y_{4}, y_{5}, y_{6}

Weil

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

gegeben sind, kann auch der Zielfunktionswert und die Schlupfvariablen des Primal ausgerechnet werden:

Z = x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} = 0 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 10 = 29

x_{1} + x_{2} + x_{4} = 3 \Rightarrow x_{4} = 3 - 0 - 3 = 0

x_{1} - x_{2} + x_{5} = 2 \Rightarrow x_{5} = 2 - 0 + 3 = 5

- 2 x_{2} + x_{3} + x_{6} = 4 \Rightarrow x_{6} = 4 + 6 - 10 = 0

Wegen des komplementären Schlupfes (Complementary-slackness),

d . h

. wenn die Problemvariable des Primal Basisvariable ist, dann ist die korrespondierende Schlupfvariable des Dual Nichtbasisvariable und umgekehrt, also:

Problemvariable des Primal

\cdot

Schlupfvariable des Dual

= 0

bzw.

Schlupfvariable des Primal

\cdot

Problemvariable des Dual

= 0

Damit können auch

y_{1} - y_{6}

ausgerechnet werden:

x_{2} \cdot y_{5} = 0 \Rightarrow 3 \cdot 0 = 0 \Rightarrow y_{5} = 0

x_{3} \cdot y_{6} = 0 \Rightarrow 10 \cdot 0 = 0 \Rightarrow y_{6} = 0

x_{5} \cdot y_{2} = 0 \Rightarrow 5 \cdot 0 = 0 \Rightarrow y_{2} = 0

- y_{3} + y_{6} = - 2 \Rightarrow y_{3} = 0 + 2 = 2

- y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} + y_{5} = - 3 \Rightarrow y_{1} = 3 + 0 + 4 + 0 = 7

- y_{1} - y_{2} + y_{4} = - 1 \Rightarrow y_{4} = - 1 + 7 + 0 = 6

"x1-x2≤2 hat Schlupf."

x_{1} - x_{2} + x_{5} = 2 \Rightarrow x_{5} = 2 - 0 + 3 = 5

"Weil es die zweite Nebenbedingung ist bedeutet es, dass

y 2 = 0

ist?"

Ja, diese Schlupfvariable des Primal

(x_{5})

ist

5, d . h

. die dazugehörige Problemvarible des Dual

(y_{2})

ist 0.

"Wenn die dritte Nebenbedingung des primalen Problems Schlupf hätte, wäre dann beim dualen Problem

y 3 = 0

usw?"

Ja, so ist es gem. dem komplementären Schlupf.

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18:03 Uhr, 21.01.2018

Danke, ich denke ich bin auf die Klausur morgen gut vorbereitet.

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