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Iteration nach Al-Kashi: Kubische Gleichung
Universität / Fachhochschule
Tags: arabische mathematik, iteration, Iterationsverfahren, kubische gleichung
 
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Hallo zusammen, ich "knabbere" gerade an folgender Aufgabe: Es ist ein Interationsverfahren von Al-Kashi zur Lösung der Gleichung angegeben. Diese Gleichung hat zwei reelle positive Lösungen, wie man leicht mit einem Funktionenplotter feststellt. Bestimmen Sie durch Wahl geeigneter Startwerte mit diesem Verfahren diese beiden Lösungen nährungsweise auf drei dezimale Nachkommastellen genau. Geben Sie für jeden Schritt den erhaltenen Nährungswert als Dezimalbruch an. Mein Überlegungen Also bei Wolfram-Alpha hab ich zunächst mal die beiden pos. reellen Lösungen rausgesucht, das sind ja und zu der Berechnung Ich hab erst als Startwert genommen Stimmt das so ? (die Gleichheitszeichen sind am Ende als Ungefährzeichen zu sehen) Nun hab ich das Problem, dass ich auf gar keinen Startwert für die andere reelle Lösung komme. Wie kann ich denn einen passenden finden?? Kann mir da vll. jemand helfen ? Danke und viele Grüße flowerpower Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Oh ich hab ganz vergessen das Verfahren anzugeben, sorry. Im Skript steht Al-Kashi: Lösung durch Iteration |
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Hallo, die Werte sind grob in Ordnung. Solltet ihr nur mit zwei Nachkommastellen weiter rechnen? (0,43 ist so ungenau, dass der Wert bei mir schon in der zweiten Nachkommastelle abweicht!) Mit einer Tabellenkalkulation kannst du dir genauere Werte ausgeben lassen. > Wie kann ich denn einen passenden finden?? Das geht leider nicht, das Verfahren (in dieser Form) konvergiert bei der zweiten Nullstelle nicht. Das Verfahren (ich kenne es nicht unter diesem Namen) ist ein Spezialfall des Banachschen Fixpunktsatzes. Dabei geht es um Kontraktionen, d.h. Funktionen für die gilt. Das ist aber für nicht für gegeben. Alternativ könntest du die Gleichung verwenden. Das konvergiert im Bereich der zweiten, nicht aber der ersten Nullstelle. Mfg Michael PS: Es gibt übrigens drei Nullstellen. Diese sind , und . |
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Hey ! Vielen Dank für die Antwort! Ich hab dann da nochmal eine Frage: Eigentlich geht es in der Vorlesung nicht um Analysis (sie ist eher historisch angelegt). Deshalb bin ich mit dieser Thematik des Fixpunktsatz von Banach nicht so vertraut. Ich hab aber mal versucht mich etwas einzuarbeiten. Ist es so dass eine Funktion auf einem Intervall keinen Fixpunkt hat, wenn sie keine Kontraktion ist? . in diesem Beispiel betrachte ich das Intervall Um zu prüfen, ob eine Kontraktion ist gibt es ja ein äquivalentes Kriterium, nämlich Dann wäre ja in dem Intevall keine Kontraktion und es gäbe doch auch keinen Fixpunkt, oder ? Für eine Rückmeldung wäre ich dankbar. LG flowerpower |
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Hallo Nein , das heisst nur, dass du mit dem Verfahren den Fixpunkt nicht finden kannst. Man spricht dann von einem "expandierenden!" Fixpunkt im Gegensatz zu einem "kontrahierenden Fixpunkt. Wenn du dir mal die Fixpunktiteration als Graphik veranschaulichst: ich will die Nullstellen von ich schreibe um zu ich suche also die Schnittstellen von und 4 mein erster Startpunkt ist A mitA=(4,g(4)) ) dann auf die Gerade zu Punkt von da wieder auf usw ich komme dem Punkt oberhalb also nicht näher, obwohl ich nahe bei ihm angefangen habe, aber nach weinigen Schritten bin ich nahe an dem anderen Fixpunkt. Fange ich mit Punkt auf an läuft meine Iteration auch immer weiter von dem Fixpunkt weg. Gruß ledum  |
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