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Jacobi-Matrix, Kettenregel und partielles Ableiten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

mathabolica aktiv_icon

09:17 Uhr, 06.04.2011

Hallo liebe Mathematiker/innen,

kaum hat das Semester wieder begonnen, schon folgen die "motivierenden" Übungsaufgaben. Bei zwei von ihnen komme ich absolut nicht weiter... versucht hab ich's natürlich. Wo es scheitert:

Zu a) Die Jacobi-Matrix hatte ich noch nicht. Mit Kettenregel ne Matrix aus einer verketteten Funktion ableiten???
Zu b) Partielles Ableiten bekomme ich vlt. noch hin. Das Ausrechnen nicht.

Danke für jede Hilfe...
Abgabetermin ist >>morgen.<<
Verzweifeln tu ich schon seit Montag.

VG, Sven

PS: In meiner Übungsgruppe sind auch nur ratlose Gesichter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Yokozuna aktiv_icon

10:57 Uhr, 06.04.2011

Hallo,

die Jacobimatrix ist einfach die Matrix aller ersten Ableitungen. Angenommen, ich habe eine Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ^{3}, f (x, y) = (\begin{matrix} f_{1} (x, y) \\ f_{2} (x, y) \\ f_{3} (x, y) \end{matrix}),

dann lautet die Jacobimatrix:

J_{f (x, y)} = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} (x, y) & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} (x, y) \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} (x, y) & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} (x, y) \\ \frac{\partial f_{3}}{\partial x} (x, y) & \frac{\partial f_{3}}{\partial y} (x, y) \end{matrix})

Die Kettenregel für Funktionen mit einer Variablen wirst Du ja kennen:

h (x) = g (f (x)) \Rightarrow h' (x) = g' (f (x)) \cdot f' (x)

Bei einer Verkettung von Funktionen mit mehreren Variablen funktioniert das ganz analog, nur das dann die Ableitungen Matrizen sind, die dann miteinander multipliziert werden.
In Deinem Fall ist also

J_{g}

eine Matrix mit 2 Spalten und 3 Reihen und

J_{f}

ist eine Matrix mit 2 Spalten und 2 Reihen. Vor der Matrixmultiplikation mußt Du noch in

J_{g}

jedes

x

durch

r \cdot cos (φ)

und jedes

y

durch

r \cdot sin (φ)

ersetzen. Das Resultat dieser Matrixmultiplikation ist eine Matrix mit 2 Spalten und 3 Reihen.

Bei

b)

mußt Du zuerst

g \circ f

bestimmen. Dazu ersetzt Du in

g

jedes

x

durch

r \cdot cos (φ)

und jedes

y

durch

r \cdot sin (φ)

. Danach bildest Du einfach die Jacobimatrix von der verketteten Funktion.

Viele Grüße
Yokozuna

mathabolica aktiv_icon

02:02 Uhr, 07.04.2011

Vielen Dank! Nun ist mir alles klar!
War ja doch gar nicht so schwer. Man muss sich nur erstmal damit richtig beschäftigen.

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