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Jacobi Matrix und Eigenschaften

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Matrizenrechnung

Tags: Differentiation, Funktion, Matrizenrechnung

Lawliet aktiv_icon

18:40 Uhr, 14.06.2019

Hallo,

sitze an der folgenden Aufgabe:

f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

mit

f (u, v) := (\begin{matrix} cosh u cos v \\ sinh u sin v \end{matrix})

a)

Bestimmen sie die Jacobimatrix

: (\begin{matrix} sinh (u) \cdot cos (v) & - cosh (u) \cdot sin (v) \\ cosh (u) \cdot sin (v) & sinh (u) \cdot cos (v) \end{matrix})

Habs auch schon umgeschrieben mit

sinh

und

cosh

als e-Funktionen

Meine Probleme befinden sich eher hierbei:

b)

Entscheiden Sie, für welche (u,v) die Jacobimatrix(u,v) konform* und für welche

(u, v)

die Abbildung

f (u, v)

lokal umkehrbar ist.

c)

Bestimmen sie ggf. die Jacobimatrix der lokalen Umkehrfunktion.

*Definition konform: Eine Matrix

A \in ℝ^{2 x 2}

heißt konform, falls

c \cdot A

orthogonal für ein

c \in ℝ

{

0} ist.

Verstehe zwar die Definition, aber nicht wie ich sie hier anwenden soll.. und bei lokaler Umkehrbarkeit hab ich auch so meine Probleme.

Danke im Voraus. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

12:04 Uhr, 16.06.2019

Hallo,

ich verstehe nicht, was Dein Problem ist.

Um auf Konformität zu prüfen, brauchst Du doch nur nachschauen, was "orthogonal" bedeutet und das überprüfen, was eine rein rechnerische Sache ist.

Ebenso ergibt sich die Antwort auf den zweiten Teil von

b)

unmittelbar aus dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit, den Ihr sicher in irgendeiner Form in der Vorlesung besprochen habt. Gegebenenfalls sollstest Du den Satz mal hier zitieren.

Gruß pwm

Lawliet aktiv_icon

16:21 Uhr, 16.06.2019

Hallo,

mein Problem liegt im Folgenden, wir haben in der Übung eine ähnliche Matrix gehabt, wo wir jedoch dieses

c

aus der Definition aus der Matrix herausgezogen haben. Bei jener Matrix war bei allen Einträgen der gleiche Vorfaktor enthalten, was ja nun hier nicht der Fall ist und mir wird nicht klar was in diesem Fall mein

c \in ℝ

sein soll. Orthoganlität bedeutet. dass die Matrix multipliziert mit ihrem Transponierten die Einheitsmatrix ergibt, das ist mir klar.

Unsere Definition lautet wie folgt:
Seien

U, V \subset ℝ^{n}

offen und sei

f : U \to V

stetig diff'bar. Sei

x \in U

mit

det (J (x)) \neq 0

. Dann existieren offene Mengen

U_{0} \subset U

und

V_{0} \subset V

mit

x \in U_{0}

so, dass

f : U_{0} \to V_{0}

ein Diffeomorphismus ist.

pwmeyer aktiv_icon

12:03 Uhr, 17.06.2019

Hallo,

es ist doch

(c \cdot A) \cdot {(c \cdot A)}^{T} = c^{2} \cdot A \cdot A^{T}

Das kannst du ausrechnen. Vielleicht ist das Ergebnis

λ \cdot E

(Einheitsmatrix), dann muss eben

c^{2} = λ

sein.

Für den zweiten Teil brauchst Du demnach nur

det (J (u, v))

berechnen und untersuchen, wann das gleich 0 ist.

Gruß pwm

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