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Jacobimatrix berechnen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Hinnerk8 aktiv_icon

12:51 Uhr, 18.10.2015

Hallo zusammen,
ich habe noch eine weitere Frage und zwar zu folgender Aufgabe:
Es sei

x

element

R^{n}

und A element

R^{m x n}

. Sei

L (x) = A \cdot x

. Berechnen sie die Jacobimatrix

J L (x)

unter Verwendung der Summendarstellung des Produktes. Also in der Jacobimatrix sind ja jeweils die partiellen Ableitungen eingetragen. Allerdings weiß ich nicht genau was die Summendarstellung eines Produktes ist und wie ich überhaupt

x

und A miteinander multiplizieren soll.
Es wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte.
LG,
Hinnerk

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:00 Uhr, 18.10.2015

"wie ich überhaupt x und A miteinander multiplizieren soll"

Wie multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor?

Shipwater aktiv_icon

13:01 Uhr, 18.10.2015

Gemeint ist die Matrix-Vektor-Multiplikation. Die Komponenten von

A x

kannst du ja allgemein als Summe schreiben.

Hinnerk8 aktiv_icon

13:12 Uhr, 18.10.2015

Okay, ich habe einen Vektor mit

n

Zeilen, und eine Matrix mit

n

Spalten und

m

Zeilen. Dann kann ich um

L (x)

auszurechnen einfach Zeile der Matrix mal Spalte (Vektor) rechnen und müsste einen Vektor mit

m

Zeilen und 1 Spalte erhalten. Stimmt das soweit? Und wie berechne ich davon die Jacobimatrix? Ich habe ja keine Einträge also wonach müsste ich ableiten?
LG
Hinnerk

Shipwater aktiv_icon

13:14 Uhr, 18.10.2015

Ja das stimmt. Schreibe dies allgemein als Summe auf, also

{(A x)}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} . .

.
Dann kannst du auch die

i

.Komponente nach

x_{k}

ableiten.

Hinnerk8 aktiv_icon

13:24 Uhr, 18.10.2015

Okay, sry aber das versteh ich nicht mehr so wirklich wie das gehen soll. Wäre die Summendarstellung dann: (Ax)i=Summe von

j = 1

bis

n

xi*Ain ?
Und wenn ja, dann würde ich damit ja immer nur einen Eintrag des Vektors angeben oder? Das heißt doch, dass ich dann auch

m

verschiedene Ableitungen erhalten würde oder?

Shipwater aktiv_icon

13:28 Uhr, 18.10.2015

Deine Summendarstellung passt nicht, und ich kann sie auch nicht richtig lesen.
Lies dir mal das durch: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
Du solltest den Einträgen von

A

Namen geben: Zum Beispiel könnte

a_{i j}

den Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte bezeichnen. Versuch es damit nochmal.
Am Ende brauchst du doch

m \cdot n

verschiedene Ableitungen. Jede der

m

Komponentenfunktionen

{(A x)}_{1}, ..., {(A x)}_{m}

musst du nach jeder der

n

Variablen

x_{1}, ..., x_{n}

ableiten.

Hinnerk8 aktiv_icon

13:52 Uhr, 18.10.2015

Sorry erst mal für die blöde Schreibweise. Ich glaub ich hab jetzt die Summendarstellung:

{(A x)}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \cdot A_{i j}

Wie soll man das mit den Ableitungen dann genau aufschreiben. Ich müsste doch dann eine Jacobimatrix mit

n

Spalten und und

m

Zeilen erhalten oder?
Danke schonmal für die super Hilfe!

Shipwater aktiv_icon

13:56 Uhr, 18.10.2015

Das sieht gut aus. Ich habe deinen Beitrag mal editiert und die Formeln leserlich gemacht. Du darfst keine Variablen aneinander klatschen, sondern musst ein Leerzeichen dazwischen lassen.
Jetzt musst du

\frac{\partial}{\partial x_{k}} {(A x)}_{i}

für jedes

i = 1, ..., m

und jedes

k = 1, ..., n

berechnen.
Also

{(J L (x))}_{i k} = \frac{\partial}{\partial x_{k}} {(A x)}_{i} = \frac{\partial}{\partial x_{k}} (\sum_{j = 1}^{n} A_{i j} x_{j}) = . .

.
Bekommst du das hin?

Hinnerk8 aktiv_icon

14:13 Uhr, 18.10.2015

Oh ok, danke :-)
Puh, ich bin mir nicht so wirklich sicher. Wenn ich das so ableite, erhalte ich dann nicht einfach wieder die Matrix A oder hab ich da jetzt einen Rechenfehler? Alle anderen Werte fallen bei mir beim Ableiten nämlich als 0 weg...

Shipwater aktiv_icon

14:15 Uhr, 18.10.2015

Ja, das ist korrekt. In

1 D

hast du als Ableitung von

x \mapsto m \cdot x

doch auch

m

also nicht arg verwunderlich, dass in höheren Dimensionen

x \mapsto A \cdot x

dann abgeleitet

A

ergibt. ;-)

Hinnerk8 aktiv_icon

14:17 Uhr, 18.10.2015

Vielen lieben Dank für die super Hilfe!!!

Shipwater aktiv_icon

14:21 Uhr, 18.10.2015

Viel Erfolg weiterhin! Was hier für das Verständnis auch helfen kann, ist

A x

mal mit ...-Schreibweise aufzumalen. Dann sieht man die Ableitungen auch sofort und es macht vielleicht eher Klick, als wenn man es ganz formal mit dem Summenzeichen macht.

A x = (\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... + a_{1 n} x_{n} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... + a_{2 n} x_{n} \\ ... \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + ... + a_{n n} x_{n} \end{matrix})

Jetzt sieht man schnell, dass die Ableitung der

i

.Komponente nach

x_{k}

gerade

a_{i k}

ergibt.

1259880

1259832

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