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Jacobimatrix bestimmen

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Funktionen

Tags: Funktion

barracuda317 aktiv_icon

13:22 Uhr, 23.08.2012

Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der Abbildung

F : ℝ^{3} \to ℝ^{3}, F (r, θ, φ) := (r * s i n (θ) * c o s (φ), r * s i n (θ) s i n (φ), r c o s (θ))

Wir haben also 3 Koordinatenfunktion

f_{1}, f_{2}, f_{3}

mit

f_{1} (r, θ, φ) = r * s i n (θ) * c o s (φ)

δ_{1} f_{1} (r, θ, φ) = s i n (θ) * c o s (φ)

δ_{2} f_{1} (r, θ, φ) = r * c o s (θ) * c o s (φ)

δ_{3} f_{1} (r, θ, φ) = - r * s i n (θ) * s i n (φ)

f_{2} (r, θ, φ) = r * s i n (θ) * s i n (φ)

δ_{1} f_{2} (r, θ, φ) = s i n (θ) * s i n (φ)

δ_{2} f_{2} (r, θ, φ) = r * c o s (θ) * s i n (φ)

δ_{3} f_{2} (r, θ, φ) = r * s i n (θ) * c o s (φ)

f_{3} (r, θ, φ) = r * c o s (θ)

δ_{1} f_{3} (r, θ, φ) = c o s (θ)

δ_{2} f_{3} (r, θ, φ) = - r * s i n (θ)

δ_{3} f_{3} (r, θ, φ) = 0

Insofern ist

J_{f} (r, θ, φ) = (\begin{array}{rcl} δ_{1} f_{1} & δ_{2} f_{1} & δ_{3} f_{1} \\ δ_{1} f_{2} & δ_{2} f_{2} & δ_{3} f_{2} \\ δ_{1} f_{3} & δ_{2} f_{3} & δ_{3} f_{3} \end{array})

die gesuchte Jakobimatrix.

Ist das wirklich alles? klingt ja wilder als es ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DerDepp aktiv_icon

15:32 Uhr, 23.08.2012

Hossa ;-)

Ja das ist alles. Wichtig ist bei dieser Funktion (= Transformation in Kugelkoordinaten) eigentlich die Determinante der Jacobi-Matrix, weil man die für die Koordinatentransformation

d x, d y, d z

nach

r, Θ, ϕ

benötigt. Das Ergebnis

r^{2} \sin Θ

sollte man sich merken...

barracuda317 aktiv_icon

15:42 Uhr, 23.08.2012

Hmm, Transformation in Kugelkoordinaten haben wir nicht gemacht (ist mir zumindest nichts mehr von bekannt).

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