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Jede 4n+1 Primzahl ist x²+y²

Universität / Fachhochschule

Tags: Primzahlen Formen

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15:44 Uhr, 31.03.2017

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Jede Primzahl der Form

4 n + 1

ist Summe zweier Quadratzahlen

Beweis

x, y

ungleiche Parität sonst frei wählbar

n

ungleich

2^{m}

Zahl

(x^{2 n} + y^{2 n}) \Rightarrow (x^{2^{m}}) + (y^{2^{m}}) = 0

modulo

x^{2 n} + y^{2 n}

\Rightarrow

Es gibt unendlich viele

4 n + 1

Primzahlen der Form

(x^{2^{m}}) + (y^{2^{m}}); m > 0

\Rightarrow

Alle Primzahlen haben die Form

(x^{2^{m}}) + (y^{2^{m}}); m \geq 0

abakus

15:56 Uhr, 31.03.2017

Völliger Unsinn.
Es gibt auch unendlich viele natürliche Zahlen der Form 2n+1, trotzdem hat nicht jede natürliche Zahl diese Form.

ermanus aktiv_icon

16:05 Uhr, 31.03.2017

Hallo,
in deiner 2-ten Zeile deines "Beweises" steht vor dem Implikationspfeil
ein Ausdruck, aber keine Aussage. Wie soll aus einer Nichtaussage etwas folgen?
Natürlich haben alle Primzahlen die Form x + y, wenn man m=0 wählt.

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16:13 Uhr, 31.03.2017

(x^{2 n} + y^{2 n})

ist eine Zahl /Funktion / Term etc. pp.

Jede Zahl hat einen Teiler der kleinste

> 1

ist Primzahl

ermanus aktiv_icon

16:15 Uhr, 31.03.2017

Wie kann eine Zahl, ein Term o.ä. eine Prämisse sein?
Deine Darstellungsart ist mathematisch in hohem Maße unverdaulich.

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16:18 Uhr, 31.03.2017

9 \Rightarrow 9

ist 0 modulo 3 da

9 = 3 \cdot 3 = 3 + 3 + 3

Wo ist der Unterschied?

Was ist daran unverdaulich?

ermanus aktiv_icon

16:20 Uhr, 31.03.2017

Aha: 9 hat etwas zur Folge? Interessant... Wie ist denn der Wahrheitswert von 9?

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16:23 Uhr, 31.03.2017

Interessante Frage

Neun ist eine kollektive Übereinkunft

9 \Leftrightarrow + + + + + + + + +

Es gibt Völker die kennen keinen Zahlbegriff

ermanus aktiv_icon

16:24 Uhr, 31.03.2017

Ich klinke mich aus ...

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19:05 Uhr, 31.03.2017

Korrektur wegen Tippfehler

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Jede Primzahl der Form

4 n + 1

ist Summe zweier Quadratzahlen

Beweis

x, y

haben ungleiche Parität und sonst frei wählbar

n \leq 2^{m - 1}

Zahl

Z = (x^{2 n} + y^{2 n})

⇒

Z = 0

modulo

(x^{2^{m}} + y^{2^{m}})

Beispiel

5 ist

4 n + 1

Primzahl und

2^{2} + 1^{2}

61

ist

4 n + 1

Primzahl und

6^{2} + 5^{2}

601

ist

4 n + 1

Primzahl und

5^{2} + 24^{2}

4^{8} + 1^{8}

is prime

65537

Nicht jede

4 n + 1

Zahl ist darstellbar als

x^{2} + y^{2}

siehe

21 = 3 \cdot 7 \neq x^{2} + y^{2}

⇒ Es gibt unendlich viele

4 n + 1

Primzahlen der Form

(x^{2^{m}} + y^{2^{m}}); m > 0

⇒ Alle Primzahlen haben die Form

(x^{2^{m}} + y^{2^{m}})

;m≥0

ledum aktiv_icon

19:53 Uhr, 31.03.2017

Hallo
was willst du eigentlich genau sagen oder beweisen?
du nennst ne Menge Beispiele, du behauptest es gibt viele

4 n + 1

Primzahlen, die man als Summe von Quadraten schreiben kann. , alles richtig.
woher weisst due unendlich viele? das behauptest du schon im ersten post.
und selbst wenn das wahr ist, warum sind es dann alle?
wenn du einen Beweis hast schreib ihn so auf, dass Normalmensch ihn verstehen kann.
Hier werden Fragen beantwortet, dazu ist das Forum da, wenn du also Fragen hast stell sie,
Wenn du eigene Beweise vortragen willst ist das hier nicht das passende Forum .
Gruß ledum

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23:09 Uhr, 31.03.2017

Um genau zu sein gibt es für jedes

m \geq 1

unendlich viele Primzahlen wie aus meinem "Beweis" hervorgeht, da

x, y > 0

frei wählbar sind mit der einzigen Bedingung unterschiedlicher Paritäten.

Menge aller

4 n + 1

Primzahlen der Form

:= (x^{2^{m}} + y^{2^{m}})

Mit den Teil-Mengen

x^{2} + y^{2}, x^{4} + y^{4}, x^{8} + y^{8}, x^{16} + y^{16} .

, (x^{2^{m}} + y^{2^{m}})

Die Frage ist stimmt der Beweis.

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09:41 Uhr, 01.04.2017

Ich werde den Beweis noch einmal in Worte fassen:

a, b, c, x, y, n, m

sind Natürliche Zahlen

> 0

x, y

haben unterschiedliche Paritäten und sind Teilerfremd

Gegeben sei eine Natürliche Zahl der Form

Z = (x^{2 n} + y^{2 n})

mit

n \leq 2^{m - 1}

Die Zahl

Z

hat immer den Teiler

z > 1

z = (x^{2^{m}} + y^{2^{m}})

\Rightarrow

Es existiert ein

m

so dass

z

eine Primzahl ist.

\Rightarrow

Alle Primzahlen

z

haben darum die Form

(4 a + 1) = b^{2} + c^{2}

Beweis

x^{2} + y^{2} = {(2 n + 1)}^{2} + {(2 m)}^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 4 m^{2} + 1^{2} = 4 (n^{2} + m^{2} + n) + 1

\Rightarrow

Da es unendliche viele

n, x, y

gibt gibt es auch für jedes

m

unendlich viele Primzahlen

z

die

Z

ledum aktiv_icon

15:57 Uhr, 01.04.2017

Hallo
in der erst Zeile meinst du wohl nicht

n \leq 2^{m - 1}

sondern

n \neq 2^{m - 1}

dann später

\Rightarrow

"Es existiert ein

m

so dass

z

eine Primzahl ist." folgt nicht aus dem vorigen!
schon gar nicht

\Rightarrow

Alle Primzahlen

z

haben darum die Form

(4 a + 1) = b^{2} + c^{2}

dann

x = 2 n + 1, y = 2 m; \Rightarrow

ergibt viele

n, m

(nicht

x, y, n)

und das folgende erst recht nicht. woher weisst du, dass

4 k + 1

mit

k = n^{2} + m^{2} + 1

unendlich viel Primzahlen erreicht, nur weil es unendlich viele

k

gibt?
alle

z

B

k = 100^{2} + 12345^{2} + 1

könnten keine Primzahlen mehr sein, zumindest weisst du es nicht.
Gruß ledum

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09:18 Uhr, 05.04.2017

Weil

(x^{2^{n}} + y^{2^{n}})

als kleinster Teiler einer Zahl

Z = (x^{m} + y^{m})

dann keine Primzahl sei im Widerspruch zum Primzahlsatz steht.

Kleinster Teiler

m > 1

einer Natürlichen Zahl

n > 1

ist eine Primzahl.

Beweis aus 4 Quadrate Theorem in

Z

Z = (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} - d^{2}) = a^{2} c^{2} - a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - b^{2} d^{2}

Ist

Z

eine Primzahl

\Rightarrow (c^{2} - d^{2}) = 1 \Rightarrow c = 1, d = 0 \Rightarrow Z = a^{2} c^{2} + b^{2} \cdot c^{2}

q . e . d

.

MBS

ledum aktiv_icon

00:05 Uhr, 06.04.2017

Hallo

x^{2^{m}} + y^{2^{m}}

mögen Teiler deines

x^{2 n} + y^{2 n}

sein, aber warum ist es der kleinste Teiler?
und noch mal warum

n \leq 2^{m - 1}

also etwa

n = 2^{m - 1}

oder

n = 2^{m - 2}

?
ledum

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08:38 Uhr, 06.04.2017

z = (x^{2^{m}} + y^{2^{m}})

ist Teiler von

Z = (x^{2 n} + y^{2 n}),

aber warum ist es der kleinste Teiler?

n

besitzt immer einen ungeraden Teiler

1 \Rightarrow

der kleinste Teiler

z

von

Z

hat stets die Form

z = (x^{2^{m}} + y^{2^{m}})

mit

m \geq 1

Beachte

z

ist nicht kleinster Teiler

\Rightarrow z_{i}

teilt

z

und hat die Form

z_{i} = (x^{2^{m_{i}}} + y^{2^{m_{i}}})

\Rightarrow

unendlicher Abstieg bis

z_{i i}

der kleinste Teiler

\geq (0^{2} + 1^{2})

ist nach Primzahlsatz

\Rightarrow z_{i i}

ist ungerade und ist Summe zweier Quadratzahlen mit verschiedener Parität und daher eine

(4 x + 1)

Zahl

\leq 2^{m - 1}

soll bedeuten gilt für alle Exponenten

<

Exponent

2^{m - 1} > 1

ledum aktiv_icon

23:46 Uhr, 06.04.2017

Hallo
ich geb auf, gegen nicht Argumente komm ich nicht an.
viel Spaß weiter mit deinen Primzahlen.
Gruß ledum

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