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Jede F-sigma-Menge kann U(f) sein
Universität / Fachhochschule
Stetigkeit
Tags: F-sigma-Menge, globale Stetigkeit
 
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Hallo, wir sollen eine Ausarbeitung über Unstetigkeitsmengen schreiben. Dazu haben wir noch zwei Aufgaben bekommen, die wir zu lösen sollen, um sie dann als Sätze in unsere Ausarbeitung mit aufnehmen zu können. Bei einer dieser beiden Aufgaben stehen wir jetzt irgendwie auf dem Schlauch, daher hoffen wir auf eure Unterstützung. Wir sollen die Umkehrung des folgenden Satzes Beweisen: Die Unstetigkeitsmenge ist in unstetig) einer Funktion ist stets eine -Menge. Das heißt also für uns ist die Aufgabe, zu zeigen, dass es zu jeder -Menge eine Frunktion gibt, mit . Eine -Menge ist eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen. Weiterhin wissen wir, dass man den Satz, dessen Umkehrung wir jetzt beweisen sollen mit einem bewiesen wurde, das auf folgende Weise definiert ist: für jedes existieren mit . Dann wurde daraus geschlossen, dass ist. Dies ist soweit auch alles schlüssig, ich weiß aber nicht, ob ich dies auch für die Rückrichtung benötige. Also wenn ihr uns helfen könnt, uns hilft alles, also auch jeder kleine Ideen-Ansatz, sind wir euch wirklich dankbar! Schöne Grüße Hanna und Lena |
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Hallo Hanna und Lena, ich würde mich gern damit brüsten, den Beweis dazu selbst gefunden zu haben, hatte aber einfach nur Glück beim Suchen (naja, und etwas Ahnung, vielleicht). Eine Lösung zu eurer Problemstellung findet ich unter de.wikipedia.org/wiki/Thomaesche_Funktion#Unstetigkeitsstellenmengen Mfg Michael |
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Hallo MichaL, vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Wir haben da noch eine kleine Rückfrage. Bei der Variante der thomaeschen Funktion, die bei Wikipedia beschrieben wird ist die Rede davon, dass das minimal sein soll. Worauf bezieht sich das genau? Irgendwie verstehen wir das noch nicht wirklich! Könntest du uns da noch einmal weiterhelfen? Schöne Grüße Lena und Hanna |
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Hallo, das rührt von der abzählbaren Vereinigung her. Abzählbar (unendlich) heißt vereinfacht gesagt, dass man die Mengen mit natürlichen Zahlen indizieren kann: Ist nun , so gibt es vielleicht verschiedene , sodass gilt. Aber es gibt nur einen KLEINSTEN (minimalen) Index, sodass gilt. Dann soll gelten! Alles klar? Mfg Michael |
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Also wenn wir uns jetzt vorstellen, wir vereinigen die Mengen bis . Jetzt nehmen wir mal an, wir haben ein dass in und liegt. Dann würde ich, wenn ich dich richtig verstehe für das dass in liegt, setzen, aber was ist dann mit den anderen x? Oder kann ich die vernachlässigen, weil ich das ja vorher schon hatte? |
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Hallo, nix durcheinander bringen! Gesucht ist eine Abbildung (mit geeigneten Eigenschaften). Wie kann man solche Abbildungen angeben? Indem man für jedes Element aus der Definitionsmenge sein (eindeutiges) Bild angibt! Genau das passiert hier. Gefragt ist nach DEM Bild von . Man schaut dazu, in welchen der das fragliche liegt, etwa . Dann ist die Menge mit dem kleinsten Index eben . Also legt man fest: . Und nun das nächste , usw. Alles klar? Mfg Michael |
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Ja sicher... Irgendwann hat man glaub ich nach 6 Stunden ohne Pause echt den Kopf so voll... Vielen Dank! |
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