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Jede Teilfolge einer Folge konvergiert

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

birdbox

20:01 Uhr, 02.11.2016

Hallo, ich soll beweisen, dass jede Teilfolge einer Folge

(a_{n})

(die gegen

a

konvergiert) auch gegen

a

konvergiert.

Also:

Angenommen

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

.
Sei

(a_{n_{k}})

eine Teilfolge von

(a_{n})

.
Zu zeigen:

lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} = a

Außerdem gilt ja:

\forall ε > 0 : \exists N (ε) : \forall n > N : ∣ a_{n} - a ∣ < ε

Irgendwie muss ich dann vermutlich auf

∣ a_{n_{k}} - a ∣ < ε

kommen? Wie?

Freue mich auf Tipps!
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

birdbox

15:23 Uhr, 03.11.2016

Niemand einen Rat?

pwmeyer aktiv_icon

15:29 Uhr, 03.11.2016

Hallo,

aufgrund der Teilfolgen-Eigenschaft gibt es ein

K (ε)

mit

n_{K (ε)} \geq N (ε)

. Dann gilt eben für

k \geq K (ε) : | a_{n_{k}} - a | < ε

Gruß pwm

djring aktiv_icon

17:25 Uhr, 04.11.2016

Hallo ich kann dir den Beweis liefern für eine Nullfolge. Analog kannst du das dann auch für eine andere konvergente Folge machen.

Jede Teilfolge (x_nk)k∈N einer Nullfolge (x_n)n∈N ist eine Nullfolge.

Bewei: Sei ε

> 0

und wähle nε ∈

N

so, dass

| x_{n} | <

ε fur alle

n

≥ nε. Dann ist wegen

n_{k}

≥

k

auch |x_nk|

<

ε fur alle

k

≥ nε.

birdbox

20:12 Uhr, 04.11.2016

Hallo, vielen Dank für eure Antworten.

Zu dem von pwmeyer: Ich versteh nicht ganz warum

n_{K (ε)} \geq N (ε)

und ebenso warum

k \geq K (ε)

birdbox

13:06 Uhr, 06.11.2016

Ok vielen Dank nochmal, ich glaub ich habe es verstanden.

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