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Jede konvergente Folge ist beschränkt

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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20:01 Uhr, 18.04.2017

Man betrachte eine Folge

(x_{n}) \in C

mit Grenzwert

x \in C

.
Mit der Dreiecksungleichung folgt

| x_{n} | = | x_{n} + x - x | \leq | x_{n} - x | + | x |

Aufgrund der Konvergenz von

(x_{n})

gibt es insbesondere eine natürliche Zahl

N,

sodass

| x_{n} - x | \leq 1

für alle

n \geq N

ist.
Wir erhalten die Abschätzung

| x_{n} | \leq 1 + | x |

für alle

n \geq N

Insgesamt ist die Folge beschränkt mit

| x_{n} | \leq max {| x_{1} |, | x_{2} |, ..., x_{N - 1},1 + | x |}

Meine Frage:
Warum hat man die Zahl

N

so gewählt das

| x_{n} - x | \leq 1

ist ?
Könnte man nicht jede Zahl

z . B

2,3,4, ..., a

nehmen?
Ich habe die Notation

| x_{n} | \leq max {| x_{1} |, | x_{2} |, ..., x_{N - 1},1 + | x |}

noch nie gesehen kann mir jemand die Erklären.
Was hat es mit dem

max

auf sich? Man zählt ja alle Elemente der Folge auf - warum aber bis

1 + | x |

?

Vielen Dank schon im Voraus!
Mfg Manuel

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