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Jedes Polynom von Grad n ist ein char. Polynom?

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Charakteristisches Polynom, Eigenwert, Matrix, polynom

capstrovor aktiv_icon

18:31 Uhr, 26.02.2018

Hallo, ich soll folgenden Satz beweisen:
Jedes normierte Polynom

P = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{0}

von Grad

n > 0

ist bis auf den Faktor

(- 1)^{n}

ein charakteristisches Polynom einer

n \times n - M a t r i x

.
Hinweis:
Betrachte die Matrix

A = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 & . . . & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ * & * & * & * \end{array})

mit entsprechenden Werten in der letzten Zeile (Anm. Sollte die

Begleitmatrix sein, bin kein Latex-Profi).

Ich hab jetzt leider gar keine Idee wie ich Anfangen sollte. Das char. Polynom ist ja die Determinante der Matrix. Laut Wikipedia ist die Begleitmatrix ähnlich zu A, wenn das char. Polynom und das Minimalpolynom gleich sind. Ich kann damit aber ehrlich gesagt nicht viel anfangen.

Vielen Dank für Hilfestellungen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

18:33 Uhr, 26.02.2018

"Das char. Polynom ist ja die Determinante der Matrix."

Ja, aber der Matrix

A - x E

.
Wenn Du die Matrix

A

der gegebenen Form nimmst, davon

A - x E

bildest und davon die Determinante berechnest (geht mit der Entwicklung nach der letzten Zeile), dann wirst Du schon praktisch das Ergebnis haben.

UPDATE. Es muss natürlich Zeile heißen.

capstrovor aktiv_icon

19:02 Uhr, 26.02.2018

Danke für die Antwort!
Ok, wenn ich es jetzt mit der Formel (Entwicklung nach der letzten Zeile) aufschreibe, bekomme ich den Term

\sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{n + j} b_{j}

det

(A_{i j})

, wobei

b_{j}

die Koeffizienten der letzen Zeile in der j. Spalte sind.

Wie kann ich nun zeigen, dass in

d e t (A_{i j})

ein

x^{n}

vorkommt?

DrBoogie aktiv_icon

22:07 Uhr, 26.02.2018

Als Beispiel rechne ich für den Fall

n = 3

vor.
Sei

A = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{array})

, dann

A - x E = (\begin{array}{rcl} - x & 1 & 0 \\ 0 & - x & 1 \\ a & b & c - x \end{array})

, daher

\det (\begin{array}{rcl} - x & 1 & 0 \\ 0 & - x & 1 \\ a & b & c - x \end{array}) = a \det (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ - x & 1 \end{array}) - b \det (\begin{array}{rcl} - x & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + (c - x) \det (\begin{array}{rcl} - x & 0 \\ 0 & - x \end{array}) = a - b (- x) + (c - x) x^{2} =

= a + b x + c x^{2} - x^{3}

. Damit, wenn man ein Polynom

x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

hat, muss man nur die Matrix wie oben mit

a = - a_{0}, b = - a_{1}, c = - a_{2}

definieren und deren char. Polynom wird dann

x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

sein.

Der allgemeiner Fall geht genauso.

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