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Jedes g als Differenz zweier Primzahlen

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Primzahlen

Tags: Definition, Primzahl, quantor, Sonstig

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11:03 Uhr, 26.10.2021

g = gerade positive ganze Zahl

Nun soll folgende Aussage mit Hilfe von Quantoren formuliert werden.

- Jedes g lässt sich als Differenz zweier Primzahlen darstellen.

Meine Idee:

Def. für Primzahlen:

p \in P \overset{}{\Leftrightarrow} \forall a, b \in ℕ : a \times b = p \Rightarrow a = 1 \lor b = 1

nun definiere

ℕ (n e u) = {g \in ℕ ∥ g \div 2 \in ℕ \land g \div 2 \neq 1}

Meine Formulierung:

\forall g \in ℕ (n e u) \exists p \in P : p 2 - p 1 = g

könnte man das so stehen lassen ? außerdem wird laut meiner Def. für die Menge N(neu) die Zahl "2" nicht berücksichtig. Wüsste nicht wie ich diese noch mit einbauen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

HAL9000

11:12 Uhr, 26.10.2021

Statt eine neue Menge zu definieren (was die Darstellung verkompliziert), kannst du doch auch einfach nutzen, dass man gerade positive Zahlen als

2 n

mit

n \in ℕ

darstellen kann.

P.S.: Auch dein

\exists p \in P

sollte durch

\exists p_{1}, p_{2} \in P

ersetzt werden.

Deine Definition der Primzahlmenge

P

ist übrigens inkorrekt: Gemäß der wäre auch

1 \in P

QED-777 aktiv_icon

11:26 Uhr, 26.10.2021

Danke für die schnelle Antwort.

Also müssten die Formulierungen wie folgt lauten ?

Def. für Primzahl

p \in P \overset{}{\Leftrightarrow} \forall a, b \in ℕ : a \times b = p \Rightarrow a = 1 \lor b = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} a \neq b

\forall g \exists p 1, p 2 \in P : p 2 - p 1 = g

, mit

g = 2 n \land n \in ℕ

Roman-22

12:52 Uhr, 26.10.2021

>

Deine Definition der Primzahlmenge

P

ist übrigens inkorrekt: Gemäß der wäre auch 1∈P.
Und auch jede andere Zahl, die sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen schreiben lässt, da ja nirgendwo

P \subset ℕ

oder

p \in ℕ

gefordert wird und auch nicht, dass es diese a und

b \in ℕ

geben muss, deren Produkt dann

p

ist. Nur WENN es sie gibt, soll daraus folgen, dass (genau) eins davon 1 sein muss.

QED-777 aktiv_icon

15:57 Uhr, 26.10.2021

Das ist jetzt mein letzter Versuch, da ich das ganze nicht so ganz nachvollziehen kann.

Meine neue Def. lautet:

g = 2 n

, mit

n \in ℕ

p \in P

und

P \subset ℕ

p \in P \overset{}{\Leftrightarrow} (\exists a, b \in ℕ : a \times b \neq g \Rightarrow (p = b \land a = 1) \oplus (p = a \land b = 1) \Rightarrow a \neq b)

also

\forall g

\exists p 1, p 2 \in P : p 2 - p 1 = g

ist das ganze deutlich genug ?

Roman-22

16:42 Uhr, 26.10.2021

Wenn du eine Schreibweise wie

P \subset ℕ

verwenden darfst, dann kannst du dir doch das Leben wesentlich erleichtern, wenn du gleich

P \subset ℕ \ {0; 1)

oder

P \subset ℕ_{> 1}

vereinbarst. Da kannst du dann deine ursprüngliche Primzahldefinition belassen.

Und wozu g?
Warum nicht

\forall n \in ℕ : \exists p_{1}, p_{2} \in P : p_{2} - p_{1} = 2 \cdot n

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