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Jensensche Ungleichung

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Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Funktion

ukrop aktiv_icon

22:53 Uhr, 23.01.2012

Hallo zusammen,

eine Mögliche Form der Jensenschen Ungleichung lautet:
Ist

f

konvex und

X

integrirerbar, dann gilt

f (E [X]) \leq E [f (X)]

.

Meine Frage ist, ob die Umkehrung gilt, d.h. ob man aus

f (E [X]) \leq E [f (X)]

und

X

integrierbar zeigen kann, dass

f

konvex sein muss?
Wenn es nicht geht, wie würde sich ein Gegenbeispiel konstruieren lassen?!

Danke und Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

dapso aktiv_icon

10:15 Uhr, 24.01.2012

Hallo
Sei

X

gleichverteilt auf dem Intervall

[] 1, 2]

und

f (x) = x^{3} + 1

...

ukrop aktiv_icon

13:05 Uhr, 24.01.2012

Hallo dapso,

das hilft mir schon Mal weiter!

Allerdings ist mein eigentliches Problemm spezieller und ich vermute, dass es möglich sein sollte zu zeigen, dass aus der Jensenschen Ungleichung die Konvexität folgt.

Ich habe gegeben

E [f (c + X)] \geq f (E [c + X])

oder gleichbedeutend

E [f (c + X)] \geq f (c)

, wobei

E [X] = 0

und

f \geq 0, f^{'} \leq 0, c \in R

und möchte zeigen, dass daraus immer

f^{''} \geq 0

folgt.

hagman aktiv_icon

17:49 Uhr, 24.01.2012

Amn darf sich nicht auf eine fest gewäjhlte

X

beschränken. Aber man braucht auch lange nicht alle:
Ist

f : ℝ \to ℝ

eine Abbildung und für jede endliche diskrete Zufallsvariable

X

gilt

f (E [X]) \leq E [f (X)],

dann ist

f

konvex.

Beweis: Seien

a, b, c \in ℝ, a < b < c

.
Zu zeigen ist

f (b) \leq \frac{b - a}{c - a} \cdot f (c) + \frac{c - b}{c - a} \cdot f (a)

oder auch:

f (b) \leq p \cdot f (c) + (1 - p) \cdot f (a)

mit

p := \frac{b - a}{c - a}

Betrachte die diskrete Zufallsvariable

X

mit

P (X = c) = p

und

P (X = a) = 1 - p

.
Dann ist

E [X] = p \cdot c + (1 - p) \cdot a = b

und

f (E [X]) = f (b) :

Andererseits ist

E [f (X)] = p \cdot f (c) + (1 - p) \cdot f (a)

.
Somit ist

f (b) = f (E [X]) \leq E [f (X)] = p \cdot f (c) + (1 - p) \cdot f (a)

qed

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