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Jordan-Messbar äquivalent zu Rand Nullmenge

Universität / Fachhochschule

22:21 Uhr, 01.09.2025

Hallo zusammen, es geht um folgende Aufgabe:

Sei

A \in ℝ^{n}

beschränkt und

\partial A

eine Nullmenge. Man finde endliche halboffene Quadersummen

X, Y \in ℝ^{n}

mit

X \subset A \subset Y

und

Vol (Y) - Vol (X) < ε

.

Hier ist meine Konstrukton. Mich würde interessieren, ob das korrekt ist und ob vor allem ob es einfacher geht? (!)

\overset{°}{A}

ist offen, also gibt es endliche aufsteigende Quadersummen

Q_{k}

mit

\overset{°}{A} = ⋃_{k = 1}^{\infty} Q_{k}

und

Q_{k} \subset Q_{k + 1}

. Es ist

λ (\overset{°}{A}) = lim_{k \to \infty} Vol (Q_{k})

, insbesondere gibt es ein

N

mit

λ (\overset{°}{A}) - Vol (Q_{N}) < δ

. Wähle

X := Q_{N}

.

Da

\partial A

Nullmenge ist, gibt es eine endliche aufsteigende Quadersummen

B_{i}

B_{i} \subset B_{i + 1}

, mit

\partial A \subset ⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i}

und

λ (⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i}) < β

.

Man findet zu den

Q_{k}

und

B_{i}

jeweils etwas größere halboffene Quader

Q ʹ_{k}

und

B ʹ_{i}

mit

Q_{k} \subset \overset{°}{Q ʹ_{k}}

, aber

Vol (Q ʹ_{k}) \leq (1 + α) Vol (Q_{k})

, für

B_{i}

analog.

\overline{A} = \overset{°}{A} \cup \partial A

ist kompakt und wird wie folgt offen überdeckt:

\overline{A} = \overset{°}{A} \cup \partial A \subset (⋃_{k = 1}^{\infty} \overset{°}{Q ʹ_{k}}) \cup (⋃_{i = 1}^{\infty} \overset{°}{B ʹ_{i}})

. Nach Heine-Borel gibt es eine endliche Teilüberdeckung, also Zahlen

M > N

und

F

mit

\overline{A} \subset \overset{°}{Q ʹ_{M}} \cup \overset{°}{B ʹ_{F}} \subset Q ʹ_{M} \cup B ʹ_{F} = : Y .

Es ist

Vol (Y) \leq Vol (Q ʹ_{M}) + Vol (B ʹ_{F}) \leq (1 + α) (λ (\overset{°}{A}) + β)

.

Es genügt,

α, β, δ

klein genug zu wählen.

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