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Haupträume berechnen (für Jordan Normalform)

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Eigenwert, generalisiert Eigenräume, Hauptraum, Jordan, Jordan Normalform, Jordansche Normalform, Matrizenrechnung, Normalform

kilian1993 aktiv_icon

19:20 Uhr, 06.10.2014

Hallo zusammen :-)
Erst einmal möchte ich mich dafür entschuldigen, dass ich meine Aufgabe per Scan hochlade! Ausgerechnet jetzt habe ich nämlich Probleme mit dem Java-Applet..

Zur Aufgabe:
Ich soll zur gegebenen Matrix A das ch. und Minimal-Polynom berechnen. Weiterhin soll ich die Jordansche Normalform

J

für A angeben. Zu guter letzt soll ich eine Matrix

P

€ GL(4,

R)

finden,

s

d

J = P^{- 1} \cdot A \cdot P

gilt.

Wie Ihr im Anhang seht, habe ich alles bis auf

P

zu finden erledigt. Mein Problem ist nämlich, dass ich die Haupträume nicht richtig aufgestellt bekomme... und das nur in diesem Fall. Habe schon für mehrere Matrizen die Haupträume berechnet, da hat's jedes mal wunderbar geklappt! Ich hoffe mir kann jemand helfen :-)

Mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

07:44 Uhr, 07.10.2014

Hallo,

es sieht danach aus, als habest du Schwierigkeiten, eine Basis für die entsprechenden Räume zu finden. (Anderes kommt evtl. noch dazu.)

Nehmen wir uns den Eigenraum zum Eigenwert

λ_{2} = 2

her. Ich habe nicht nachgerechnet, aber du musst aus dem Gleichungssytem

\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}

eine Basis bestimmen.
Offenbar hast du ein Problem damit, dass das LGS unterbestimmt ist.

Du hast vier Variablen, aber effektiv nur zwei Gleichungen. Folglich kannst du zwei Variablen frei(!) wählen. Das macht man, indem man die eine als 1 und die andere als Null wählt, danach anders herum. Bei mehr als zwei freien Variablen muss man immer je eine als 1 und die verbleibenden als Null wählen, doch das brauchst du hier ja jetzt nicht.

Außerdem musst du herausfinden, WELCHE der Variablen du wählen kannst.

x_{1}

ist es nicht, da Gleichung4 explizit

x_{1} = 0

fordert.
Gleichung3 macht deutlich, dass du von

x_{3}

und

x_{4}

nur eine wählen kannst, die andere muss dann passend gewählt werden.
Offenbar kann man

x_{2}

frei wählen.

Damit ergeben sich als Basisvektoren

(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

(da

x_{2}

ganz frei ist) und

(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})

(aus Gleichung3).

Da die

\dim (Eig (A, λ_{2}))

gleich der algebraischen Vielfachheit ist, gilt auch

Eig (A, λ_{2}) = Hau (A, λ_{2})

und das ganz ohne Minimalpolynom!

Erstmal so weit.

Bestimme doch eine Basis zum

Eig (A, λ_{1})

.

Mfg Michael

kilian1993 aktiv_icon

10:41 Uhr, 07.10.2014

Hallo michaL,
danke für deine Antwort und deine Hilfe.

Ich sitze leider noch in der Uni und da das Java Applet still nicht funktioniert, habe ich einfach ein Foto gemacht und hochgeladen.

Habe die Eigen- und Haupträume noch mal neu berechnet. Ich hoffe man kann alles erkennen und es ist alles korrekt :-)

Mfg
Kilian