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Jordan-Normalform einer Matrix geom,algebr. mult.
Universität / Fachhochschule
Körper
Polynome
Tags: Jordan Normalform
 
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hi, ich hab hier ne aufgabe bei der ich garnicht weiß wie ich anfangen soll. ich kann mir das auch nicht so richtig vorstellen. Aufgabe Untersuchen Sie für und ob die Jordan-Normalform einer Matrix (bis auf die Anordnung der Jordan-Blöcke) durch die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten eindeutig bestimmt ist. (Anders gefragt: Gibt es -Matrizen mit denselben Eigenwerten und gleichen algebraischen und geometrischen Vielfachheiten, die nicht ähnlich zueinander sind?) danke im vorraus vincent Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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kann mir echt niemand helfen? |
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Hallo, Wie sieht es denn im Fall n=4 mit den Matrizen und aus? Gruß Stephan |
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die sind verschieden, also sind sie durch die multiplitzitäten bestimmt. oder wie? |
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Die beiden Matrizen sind offenbar nicht ähnlich, aber 2 ist in beiden Fällen ein vierfacher Eigenwert (algebraische Vielfachheit). Die geometrische Vielfachheit ist in beiden Fällen 2, weil es jeweils 2 Spalten ohne 1 in der Nebendiagonalen gibt. Somit ist im Fall n=4 (und damit auch für alle größeren n) die Jordansche Normalform (bis auf die Blockreihenfolge) nicht allein durch die alg. und geom. Vielfachheit eindeutig bestimmt. Bleibt noch der Fall n=3 für Dich. |
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aber bei den beiden matrizen ist doch garkeine in der nebendiagonalen möglich, da keine da ist. das versteh ich nicht. bei matrizen wie ist das bei den beiden? wie sind da die geom vielfachheiten? die algeb. ist ja jeweils 3. ist die bei der 1. 3 und bei der 2. 2 ? |
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Was meinst Du damit, dass keine Nebendiagonale da sei? Nun zu Deinem 3x3 Beispiel. Die algebr. VFH ist in beiden Fällen 3, soweit ok. Die geometrische ist im ersten Fall 1 (ein Jordan-Kästchen bzw. eine 2 ohne 1 darüber) und im zweiten Fall ist sie 2 (2 Jordankästchen bzw zweimal eine 2 ohne 1 darüber) |
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ich meine da sind 4 spalten und 2 einsen. ich mein, dass neben der in der 2. matrix keine 1 stehen kann, da da keine matrix mehr ist. ich versteh nicht, dass man so zählen darf. |
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Es kommt nicht darauf an, ob eine 1 daneben steht, sondern ob eine 1 über dem Eigenwert steht. Man muss das spaltenweise betrachten, da jede Spalte gerade das Bild eines Standardeinheitsvektors (in der Eigenbasis) ist. Zu den Spalten ohne eine 1 darüber gehört jeweils ein Eigenvektor und zu den Spalten mit einer 1 über dem Eigenwert gehört ein sog. assoziierter Vektor. Du musst Dir überlegen, ob es im Fall 3x3 ein Beispiel geben kann mit gleichen algebraischen VFH und gleichen geom. VFH aber nicht ähnlicher Form. |
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bei meinem beispiel mit den matrizen: beid er 2. ist doch nur über einer (rechts unten) keine 1. über der 2 links ober kann ja keine 1 stehen, da da keine matrix mehr ist. oder wie muss ich das verstehen? |
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Nochmal: Du zählst für die geom. VFH alle Spalten, bei denen über dem Eigenwert keine 1 steht. Ob über der 2 eine 0 steht oder nichts ist dabei doch völlig wurscht. |
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bei ist das doch durch geom. und alg. VFH bestimmt: alg. geom. alg. 3 geom. 2 alg. 3 geom. 1 also ist es bestimmt. oder nicht? die können ja nicht anders aussehen... danke für deine geduld |
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Na also, geht doch ;-) Allerdings bleibt genaugenommen noch die Frage, was passieren kann, wenn nicht alle Eigenwerte gleich sind. Sind die dann auch immer durch die alg. und geom. VFH bestimmt? |
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wenn sie verschieden sind dann gilt das immernoch. geom. 2 bzw 1 geom. 1 bzw. 1 geom. also ist das so bestimmt. oder nicht? aber wie schreib ich das jez so als formalen beweis auf. ich kann ja nicht einfach alle möglichkeiten hinschreiben und dann sagen. ja sieht man doch^^ oder? |
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Warum sollte man bei (wenigen) endlich vielen Möglichkeiten nicht alle auflisten dürfen? Das ist allemal besser als das in vielen Vorlesungen übliche "klar", "trivial" oder "wie man leicht sieht". Und im Fall n=4 bzw n=5 genügt sowieso ein Beispiel, bei dem es nicht so ist. |
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super danke echt klasse. jez hab ichs verstanden^^ |
