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Jordan Normalform und Ähnlichkeitsklassen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Jordan Normalform, Matrizenrechnung

Shuumi aktiv_icon

14:42 Uhr, 27.05.2015

Hallo, heute habe ich folgendes Problem:
Sei

p

eine Primzahl.
Bestimme die Anzahl der Ähnlichkeitsklassen von trigonalisierbaren Matrizen

A ε M a t_{3} (F_{p})

. Wieviele sind nilpotent?

Ich lasse zuerst die Frage um nilpotenten zur Seite.
Mir ist es klar, dass ich die Jordan-Normalform der Matrix A benutzen soll. Sie wird mithilfe der Eigenwerten ermittelt. Ich sage also, ich befinde mich in

F_{2}

also

p = 2

. Ich habe also 9 Möglichkeiten die Eigenwerte darzustellen:

(0), (1), (0,0), (1,0), (1,1), (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)

.
Sei also nur 1 ein Eigenwert, also

λ_{1} = 1

dann ist die Jordan-Normalform der Matrix

A :

J + λ_{1} E = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})

.

Also habe ich 9 Ähnlichkeitsklassen.
Da ich mit den Jordan-Matrizen erst anfange wollte ich, dass jemand mir sagt, ob es richtig ist, oder ob es etwas gibt, was ich nicht richtig verstanden habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shuumi aktiv_icon

18:28 Uhr, 27.05.2015

3 p + 4 (\sum p - 1) + \times x

Für

\times x

sollte die Anzahl der Jordan-Normalformen, deren jeder Diagonaleintrag verschieden ist.
Das wäre nach paar Stunden Arbeit meine Antwort, aber ich kann es nicht begründen, die Begründung ist einfach zu umständig.

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