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Jordanform einer Diagonalmatrix

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Eigenwerte

Tags: Eigenwert Jordan

Jonas190 aktiv_icon

21:06 Uhr, 03.07.2019

Ich stehe vor folgendem Problem:
In meinem Skript wird ausgesagt, dass eine Diagonalmatrix A ähnlich ist zu einer Jordanschen Normalform.
Nun wird zusätzlich noch ausgesagt, dass diese Jordanische Normalform sich auch vereinfacht schreiben lässt:
Statt der direkten Summe von Jordanblöcken kann eine solche Jordanische Normalform einfach als die direkte Summe der Produkte der Eigenwerte mal der Einheitsmatrix (zur algebraischen Vielfachheit des jeweiligen Eigenwertes) geschrieben werden.
Offenbar hat das damit zu tun, dass die Partition zum Eigenwert die Form:

(1,1, ... . 1)

hat, also alle Einträge sind eins und die nilpotente Normalform ist somit die Nullmatrix. Aber mir ist unklar warum. Kann mir das jemand erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

22:14 Uhr, 03.07.2019

Hallo,
das verstehe ich nicht. Eine Diagonalmatrix ist doch bereits
in einer Jordanschen Normalform.
Gruß ermanus

Jonas190 aktiv_icon

22:59 Uhr, 03.07.2019

Ja, aber warum? Das liegt doch daran, dass die nilpotente Normalform, die ja beim „normalen“ Jordanblock zur Diagonalmatrix des Eigenwertes hinzuaddiert wird, in diesem speziellen Fall 0 ist. Und das wiederum ist so, weil die Einträge der Partition alle 1 sind. Und genau da verstehe ich nicht, warum das so ist.

ermanus aktiv_icon

23:32 Uhr, 03.07.2019

Vermutlich denkst du viel zu kompliziert.
Bei einer Diagonalmatrix besteht die Diagonale genau aus den
Eigenwerten und offenbar ist deren algebraische Vielfachheit gleich der
geometrischen Vielfachheit, so dass der Raum die direkte Summe der
Eigenräume ist und nicht nur der Haupträume. Man hat eine Basis aus Eigenvektoren.
Im Falle von Nebendiagonal-Einsen in einem Jordankästchen gibt es keine solche Basis.

ermanus aktiv_icon

23:43 Uhr, 03.07.2019

Das hört sich übrigens nach Frau Prof. Unger an der Fernuni Hagen an ...

michaL aktiv_icon

08:32 Uhr, 04.07.2019

Hallo,

vielleicht kann man es so ausdrücken: Bei Diagonalmatrizen haben die Jordanblöcke augenscheinlich die Größe 1. Andere Größen kommen nicht vor.

Mfg Michael

Jonas190 aktiv_icon

11:31 Uhr, 04.07.2019

Vielen Dank für die Antworten!
Das hat mir schon sehr weitergeholfen. Ich habe jetzt gesehen, dass ich mich zu wenig mit den Begriffen der algebraischen und der geometrischen Vielfachheit auseinandergesetzt habe. Das Skript hat einen eigenen Zugang zu dem Thema, den ich allerdings auch ziemlich interessant finde.
Es stimmt, dass es sich um das Skript von Frau Prof. Unger handelt.

Im Wikipedia-Artikel zum "Hauptraum" taucht der Begriff der "Stufe" eines Hauptvektors auf. Alle Eigenvektoren sind Hauptvektoren der Stufe 1. Ich vermute, dass dies genau dasselbe ist, was im Unger-Skript als Partition verstanden wird. Da alle Eigenvektoren die Stufe 1 haben, ist die Partition zu einem Eigenwert eben

(1,1, . .

. usw.)

Jonas190 aktiv_icon

11:33 Uhr, 04.07.2019

(im Falle einer Diagnonalmatrix, wo es ja nur die Hauptvektoren gibt, die zugleich Eigenvektoren sind)

ermanus aktiv_icon

13:31 Uhr, 04.07.2019

Ich kenne das Skript von Frau Unger, da ich den Kurs 01143 früher als
Mentor betreut habe. Ihre Art der Darstellung ist ziemlich außergewöhnlich,
aber auch sehr interessant und vom strukturellen Denken her bestimmt.
In der Tat hat man bei Diagonalmatrizen die simple Partition (1,1,...).
Am einfachsten wird es aber mit Frau Ungers Satz 4.3.18 über die Eindeutigkeit
der Jordanzerlegung.
Überdies hat natürlich MichaL vollkommen Recht: man sieht es doch !!
Gruß ermanus

Jonas190 aktiv_icon

14:13 Uhr, 04.07.2019

Im Satz über die Eindeutigkeit der Jordanzerlegung wird definiert:

F = f (d)

plus

f (n)

Wobei

f (d)

eine Diagonalmatrix ist und

f (n)

eine nilpotente Matrix.
Offenbar ist im gegebenen Fall

f (n) = 0

.
Wenn ich das nun aber konkret versuche nachzuvollziehen

. .

f (n)

ist definiert wie unten angegeben(s. Bild) im Skript. Woraus folgt nun im Falle einer Diagonalmatrix, das dieser Ausdruck 0 wird?

ermanus aktiv_icon

14:39 Uhr, 04.07.2019

Ich habe vielleicht eine andere (ältere) Verion des Skripts,
so dass die Numerierung der Sätze etwas abweicht.
Ich meine den entsprechenden Satz für Matrizen:
"Eindeutigkeit der Jordanzerlegung von Matrizen".
Es gibt eindeutig bestimmte Matrizen

A_{d}

und

A_{n}

mit

1 . A = A_{d} + A_{n}

und

2 . A_{d}

diagonalisierbar und

A_{n}

nilpotent und

3 . A_{d} A_{n} = A_{n} A_{d}

.
Da

A

in unserem Falle bereits eine Diagonalmatrix ist, folgt

A = A_{d}

und

A_{n} = 0

.
Das reicht doch vollkommen aus.
Gruß ermanus

Jonas190 aktiv_icon

15:51 Uhr, 04.07.2019

Ok. Das ist tatsächlich für mich nachvollziehbar. Und zwar deshalb, weil eine nilpotente Matrix ja niemals diagonal sein kann (denn dann hätte sie keinen Nilpotenzindex) und insofern kann es keine "zweite" Diagonalmatrix geben, welche durch Addition von

f (n)

und

f (d)

zustandekommt. Daher muss

f (n)

null sein.

Eine Frage habe ich dennoch noch: da Du das Skript so gut kennst, könnest Du mir erläutern, warum die Partition

(1,1, ...)

ist usw?
Kann man sich das aus der "Partitionslogik" irgendwie unmittelbar ableiten? Ich frage deshalb nach, weil ich gerne auch die Zwischenschritte verstehen würde. Es wird ja im Skript explizit eine Formel für die Berechnung der Partitionen angegeben und ich bin bisher regelmässig daran gescheitert, diese auf den vorliegenden Fall anzuwenden (womöglich deshalb, weil von vornherein kein Nilpotenzindex vorliegt und die Formel daher gar nicht anwendbar ist)

ermanus aktiv_icon

16:10 Uhr, 04.07.2019

Ich will dir gerne weiter behilflich sein, ich nehme aber an, dass das
recht viel Zeit in Anspruch nehmen wird. In dieser Woche habe
ich diese Zeit nicht, aber in der nächsten Woche ab Mittwoch
könnte ich mich wieder damit beschäftigen. So gut kenne ich das Skript
übrigens auch nicht. Das letzte Mal habe ich vor 7 Jahren reingeschaut.
Am besten, du setzt den Thread ab nächstem Mittwoch wieder fort,
indem du in diesem Thread wieder antwortest, da ich dann ja eine Mail bekomme.
Gruß ermanus

Jonas190 aktiv_icon

17:42 Uhr, 04.07.2019

Sehr gern!

Jonas190 aktiv_icon

22:18 Uhr, 05.07.2019

(Und schon mal vorab vielen Dank!!)

Jonas190 aktiv_icon

09:24 Uhr, 13.07.2019

Hi, wie gesagt bin ich nach wie vor neugierig bezüglich dieser Frage.
Bei einer Diagonalmatrix kann ich mir vorstellen, dass eine Partition gar nicht definiert ist. Aber offensichtlich ist sie definiert und sie lautet

p (1,1,1 ...)

. Und mir ist echt nicht klar warum. Ich frage deshalb nach, weil ich gerne die Logik des Skriptes nachvollziehen möchte und da werden diese Partitionen und die Faktorräume ja miteinander verknüpft. Vielen Dank schon vorab!

ermanus aktiv_icon

14:07 Uhr, 14.07.2019

Hallo,
zum Abschluss dieses "Partitionsproblems" folgendes:
sei

A =

diag

(c_{1}, \dots, c_{n})

eine

n \times n

-Diagonalmatrix.
Dann sind

c_{1}, \dots, c_{n}

ihre Eigenwerte.
Ist nun

λ \in {c_{1}, \dots, c_{n}}

ein

r

-facher Eigenwert von

A

,
dann gilt

R g ((A - λ E)^{0}) = n

R g ((A - λ E)^{1}) = n - r

R g ((A - λ E)^{2}) = n - r

, etc.
Die Rangpartition ist also

(r)

.
Die dazu duale Partition ist

(1, \dots, 1)

mit

r

Einsen.

Gruß ermanus

Jonas190 aktiv_icon

23:37 Uhr, 14.07.2019

Vielen vielen Dank!!!
Das hat mir wirklich sehr geholfen.
Deine Erklärung ist kurz und knapp und sehr einleuchtend.

Jonas190 aktiv_icon

23:38 Uhr, 14.07.2019

Gruss, Jonas

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