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Jordansche Normalform
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung
 
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Wie kann ich genau die Jordansche Normalform bestimmen ? Angenommen wir sind in und haben die Matrix erstmal hab ich die eigenwerte bestimmt das wäre 1 und so wie mach ich jetzt weiter ? gibt es eine Jordansche Normalform nur wenn es Eigenwerte gibt bzw das polynom in linearfaktor zerfällt ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, die Matrix hat genau so viele verschiedene Eigenwerte wie ihr Rang ist. Daher ist die Matrix sogar diagonalisierbar. Die Diagonalmatrix ist dann auch die Jordansche Normalform. Und ja, damit eine jordansche Normalform berechnet werden kann, muss das charakteristische Polynom zerfallen (über dem jeweiligen Körper). Mfg Michael |
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wenn ich das richtig verstanden habe, falls die Matrix eine Diagonalmatrix hat ist sie auch die JNF. in meinem Beispiel wäre dann ja JNF= oder ? wenn die Eigenwerte wäre, wären sie ja nicht verschieden trz ist die Matrix diagonalisierbar oder ? als beipiel hatten wir eigenwerte und JNF wäre . wieso nicht JNF ? oder ist einfach die anfangsmatrix die JNF falls die Matrix diagonilierbar ist.. ? JNF existiert also nicht wenn es keine eigenwerte gibt richtig ? oder eigenwerte nicht dem Rang entsprechen ? |
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Hallo, nicht alles durcheinander bringen! Die Matrix hat so viele (verschiedene) Eigenwerte wie ihr Rang ist. => Die Matrix ist diagonalisierbar. => Die Matrix hat eine spezielle Jordansche Normalform, nämlich eine Diagonalmatrix. Bedenke, dass die Matrix die Eigenwerte 0 und 1 hat, sie also ähnlich zu ist. Wie man das mit dem Diagonalisieren macht, steht * in deiner Mitschrift/deinem Skript * der vom Professor angegebenen Literatur * zuhauf im Internet. Bitte verwende eine dieser Quellen und arbeite dich da durch. Solltest du dazu Fragen haben, dann stelle sie gerne hier. Im Moment weiß ich mit deinem posting wenig anzufangen. Es sieht nach sehr wenif Ahnung aus. Das kann man aber durch Einlesen in das Thema allein beheben. Dazu benötigt man eigentlich keine Hilfe. Zu den Kriterien: * Es ist notwendig und hinreichend, dass das char. Polynom zerfällt, damit man eine Jordansche Normalform berechnen kann. * Es ist notwendig und hinreichend, dass die Summe der Dimensionen aller Eigenräume einer Matrix gleich dem Rang der Matrix ist, damit die Matrix diagonalisierbar ist. Letzteres liegt automatisch vor, wenn man so viele verschiedene Eigenwerte hat, wie der Rang der Matrix ist, da jeder Eigenraum mindestens die Dimension 1 hat. Damit ist die Summe der Dimensionen mindestens 2. Aber auch höchstens, da er halt größer in diesem Fall nicht sein kann. Mfg Michael |
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Diagonalisierbarkeit hab ich schon verstanden, JNF jedoch nicht so ganz.. ausführlich hatten wir das auch nicht so genau.. wenn eine Matrix nicht so viele eigenwerte hat wie ihr rang hat den eigenwert 1 und 1 und Rang 0 was bedeutet das in bezug auf JNF ? wenn die Matrix die eigenwerte 1 und 1 hat entspricht die dim nicht dem rang, so ist nicht die Diagonalmatrix die JDF richtig ? wie komm ich dann auf ? |
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Hallo, hm, vielleicht habe ich mich falsch ausgedrückt. Die Matrizen, die du bisher angegeben hast, waren 2x2-Matrizen. Das habe ich mit Rang gemeint, was aber mindestens missverständlich ist. Vielleicht ist Dimension besser? Zur Nullmatrix: Das ist doch schon eine Diagonalmatrix. Sie hat nur den Eigenwert 0. Der Eigenraum hat aber die Dimension 2, was gerade der Dimension der Matrix entspricht. Insofern ist sie diagonalisierbar (sie ist ja auch schon in Diagonalform). Bei hast du insofern recht, dass die Matrix zwar auch nur den Eigenwert 1 hat. Dessen Eigenraum hat aber nur die Dimension 1, was kleiner ist als die Dimension der Matrix. Diese Matrix ist also nicht diagonalisierbar. Sie ist aber schon die Jordansche Normalform ihrer selbst. Ich hoffe, ich konnte das richtigstellen?! Mfg Michael |
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Bis jetzt hab ich es alles verstanden, nur woher weiß ich ob die matrix selbst die JNF ist ? bei hat man auch die eigenwerte 1 und kleiner als die dimension also ist die JNF ? genau bei eigenwerte wären 1 und nicht der dimension entsprechend also wäre die matrix schon die JNF ? |
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Hallo, ob eine Matrix in Jordanscher Normalform ist, hängt ein bisschen davon ab, wie ihr die definiert hab (s. Vorlesung/Skript/Literatur/Internet). Suche nach Jordanblöcken: de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform#Definition Klar sollte sein: Ist eine Matrix eine Diagonalmatrix, so ist dies auch schon die Jordansche Normalform. Alle Jordanblöcke haben die Größe 1. Bei hast du eine solche Diagonalmatrix vorliegen. Fertig. Wenn du es genauer untersuchen willst: Es gibt zwar nur einen Eigenwert (1), dessen Eigenraum hat aber die gleiche Dimension, wie die der Matrix (nämlich 2). Damit ist die Matrix diagonalisierbar (sie ist ja schon diagonal). Bei hast du nur den Eigenwert 0. Der Eigenraum hat aber nur die Dimension 1 (musst du nachrechnen). Demnach kann die Matrix nicht diagonalisiert werden. Wenn ihr die Jordanblöcke nun so definiert habt, dass der (zu betrachtende) Eigenwert auf der Diagonalen und höchstens darüber Einsen stehen, so ist die Matrix NICHT in Jordanscher Normalform. (Ich meine, man könne das auch unterhalb definieren, hab ich aber selten so gesehen.) Mfg Michael |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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