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K ein Körper und f ∈ K[X] irreduzibel.
Universität / Fachhochschule
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Tags: injektiv, invers, irreduzibel, isomorph, Körper, Multiplikation, Ringhomomorphismus
 
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Sei ein Körper und ∈ irreduzibel. Zeigen Sie, dass KX]/(f)ein Körper ist, und dass → → ein injektiver Ringhomomorphismus ist. (ii) Sei und . Zeigen Sie, dass isomorph zum Körper ist. (iii) Sei und ∈ . Zeigen Sie, dass irreduzibel ist, und geben Sie die Anzahl der Elemente des Körpers an. Berechnen Sie außerdem das multiplikativ Inverse von im Körper L. Hallo zusammen, könnte jemand mir helfen bitte? Vielen Dank im Voraus! :-)) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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(i) Lemmata 1-4 hier: math.stackexchange.com/questions/103514/showing-the-factor-ring-r-i-is-a-field "(ii) Sei K=R und f=X2+1. Zeigen Sie, dass L isomorph zum Körper C ist." ist Isomorphie, direkte Prüfung "(iii) Sei K=F2 und f=X3+X+1 ∈ F2[X]. Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist, und geben Sie die Anzahl der Elemente des Körpers L an. Berechnen Sie außerdem das multiplikativ Inverse von X2+1 im Körper L." ist irreduzibel, weil er keine Nullstellen hat (direkte Prüfung, dass 0 und 1 keine Nullstellen sind). Alle Elemente in haben die Form , also Elemente. wird durch den Ansatz und direkte Berechnung bestimmt |
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zu verstehe ich nicht ganz. Lemma 1. Wenn eine integrale Domäne ist, ist der Polynomring auch eine integrale Domäne Lemma 2. Wenn ein Feld ist, ist der Polynomring eine ideale Hauptdomäne Lemma 3. If is a field and f∈Kx] is irreducible, the ideal is maximal. Lemma 4. Wenn eine integrale Domäne und I ein maximales Ideal ist, dann ist der Faktor Ring ein Feld. wir wollen in unserer Aufgabe zeigen dass ein Körper ist, und dass → → ein injektiver Ringhomomorphismus ist. |
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Man schreibt es nicht als "richtiger" Bruch, nur so . Und es muss dabei stehen und nicht . Ein Faktorring kann nur Modulo eines Ideals sein, nicht Modulo eines Elements. Und jetzt zur Sache: ist ein Körper, weil maximales Ideal ist (Lemma 4). ist maximales Ideal, weil irreduzibel ist (Lemma 3). |
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Achso ok :-)) und was ist mit Lemma 1. und 2. ? |
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2 braucht man nicht, aber 1 braucht man, um zu sagen, dass integrale Domäne (öfter auch Integritätsring genannt) ist (für das Lemma 4) - es sei denn, das ist schon sowieso bekannt |
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Dankeschön für deine Hilfe! :-)) |
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