Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » K ein Körper und f ∈ K[X] irreduzibel.

K ein Körper und f ∈ K[X] irreduzibel.

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: injektiv, invers, irreduzibel, isomorph, Körper, Multiplikation, Ringhomomorphismus

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
S-amalgh

S-amalgh

19:24 Uhr, 21.11.2020

Antworten
Sei K ein Körper und fK[X] irreduzibel.
(i) Zeigen Sie, dass L:= K[X]/(f)ein Körper ist, und dass
KL:aa+(f)
ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

(ii) Sei K=R und f=X2+1. Zeigen Sie, dass L isomorph zum Körper C ist.

(iii) Sei K=F2 und f=X3+X+1F2[X]. Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist, und geben Sie die Anzahl der Elemente des Körpers L an. Berechnen Sie außerdem das multiplikativ Inverse von X2+1 im Körper L.

Hallo zusammen, könnte jemand mir helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :-))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

23:06 Uhr, 21.11.2020

Antworten
(i)
Lemmata 1-4 hier:
math.stackexchange.com/questions/103514/showing-the-factor-ring-r-i-is-a-field


"(ii) Sei K=R und f=X2+1. Zeigen Sie, dass L isomorph zum Körper C ist."

cX+d+(f)d+ci ist Isomorphie, direkte Prüfung


"(iii) Sei K=F2 und f=X3+X+1 ∈ F2[X]. Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist, und geben Sie die Anzahl der Elemente des Körpers L an. Berechnen Sie außerdem das multiplikativ Inverse von X2+1 im Körper L."

f ist irreduzibel, weil er keine Nullstellen hat (direkte Prüfung, dass 0 und 1 keine Nullstellen sind). Alle Elemente in L haben die Form aX2+bX+c+(f), also 23 Elemente.
(X2+1)-1 wird durch den Ansatz aX+bX+c und direkte Berechnung bestimmt
S-amalgh

S-amalgh

22:07 Uhr, 22.11.2020

Antworten
zu (i) verstehe ich nicht ganz.
Lemma 1. Wenn R eine integrale Domäne ist, ist der Polynomring R[x] auch eine integrale Domäne
Lemma 2. Wenn K ein Feld ist, ist der Polynomring K[x] eine ideale Hauptdomäne
Lemma 3. If K is a field and f∈K[x] is irreducible, the ideal (f) is maximal.
Lemma 4. Wenn R eine integrale Domäne und I ein maximales Ideal ist, dann ist der Faktor Ring RI ein Feld.

wir wollen in unserer Aufgabe zeigen dass L:=K[X]f ein Körper ist, und dass
KL:aa+(f)
ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:20 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Man schreibt es nicht als "richtiger" Bruch, nur so K[X]/(f).
Und es muss dabei (f) stehen und nicht f. Ein Faktorring kann nur Modulo eines Ideals sein, nicht Modulo eines Elements.

Und jetzt zur Sache: K[X]/(f) ist ein Körper, weil (f) maximales Ideal ist (Lemma 4). (f) ist maximales Ideal, weil f irreduzibel ist (Lemma 3).
S-amalgh

S-amalgh

22:25 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Achso ok :-))

und was ist mit Lemma 1. und 2. ?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:30 Uhr, 22.11.2020

Antworten
2 braucht man nicht, aber 1 braucht man, um zu sagen, dass K[X] integrale Domäne (öfter auch Integritätsring genannt) ist (für das Lemma 4) - es sei denn, das ist schon sowieso bekannt
Frage beantwortet
S-amalgh

S-amalgh

23:24 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Dankeschön für deine Hilfe! :-))