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KNF vereinfachen

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Tags: Sonstig

Laura99 aktiv_icon

16:33 Uhr, 15.10.2020

Ich soll die KNF hier vereinfachen:

(¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨

B

∨

C)

∧

(A

∨ ¬B ∨ ¬C) ∧

(A

∨ ¬B ∨

C)

∧

(A

∨

B

∨ ¬C) ∧

(A

∨

B

∨

C)

Ich denke, ich kann hier die Glieder 1 und 6 streichen. Außerdem kann ich die Glieder 2 und 3 streichen. Damit würden nur noch die Glieder 4 und 5.

Damit würde noch das hier übrig bleiben:

(A

∨ ¬B ∨

C)

∧

(A

∨

B

∨ ¬C)

Denke ich richtig oder mache ich Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

16:47 Uhr, 15.10.2020

Hallo,
ich verstehe nicht, warum du Term 1 und Term 6 meinst streichen zu können?

Laura99 aktiv_icon

16:50 Uhr, 15.10.2020

(¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ∧

(A

∨

B

∨

C)

ist äquivalent zu (¬A ∧

A)

∨ (¬B ∧

B)

∧ (¬C ∧

C)

ermanus aktiv_icon

16:57 Uhr, 15.10.2020

Meinst du

(\neg A \land A) \lor (\neg B \land B) \lor (\neg C \land C)

Laura99 aktiv_icon

17:03 Uhr, 15.10.2020

Ja, genau.

ermanus aktiv_icon

17:09 Uhr, 15.10.2020

Aber das wäre ja für alle Belegungen der Variablen

A, B, C

falsch. Dann wäre aber auch der Gesamtausdruck konstant falsch ...
einen Konjunktionspartner (

\land

-Partner) darf man nur
streichen, wenn er immer wahr ist.

Laura99 aktiv_icon

17:13 Uhr, 15.10.2020

Habe ich hier nicht einfach ausmultipliziert? Wie könnte man sonst vereinfachen?

ermanus aktiv_icon

17:24 Uhr, 15.10.2020

Naja, du hast das 1. Glied der 1.Klammer mit dem 1. Glied der 2.Klammer dann
das 2. Glied der 1. Klammer mit dem 2. Glied der 2. Klammer usw.
multipliziert, aber nicht das 1. Glied der 1. Klammer
mit dem 2. Glied der 2. Klammer ... (JEDES Glied der einen Klammer mit
JEDEM Glied der anderen Klammer).

Laura99 aktiv_icon

17:29 Uhr, 15.10.2020

Habe ich es denn nicht so gemacht? Bin gerade mega verwirrt

ermanus aktiv_icon

17:49 Uhr, 15.10.2020

Dann müssten doch alle folgenden Terme auftauchen:

\neg A \land A, \neg A \land B, \neg A \land c, \neg B \land A, \neg B \land B, \neg B \land C, \neg C \land A, \neg C \land B, \neg C \land C

Laura99 aktiv_icon

11:17 Uhr, 16.10.2020

Ich bin ein Stück weiter:

Das ist ja die Ausgangslage:
(¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨

B

∨

C)

∧

(A

∨ ¬B ∨ ¬C) ∧

(A

∨ ¬B ∨

C)

∧

(A

∨

B

∨ ¬C) ∧

(A

∨

B

∨

C)

Jetzt habe ich Glied 1 und Glied 3 vereinfacht zu (¬B ∨ ¬C) (Distributivgesetz),
Glied 2 und 6 auch zu

(B

∨

C)

(Distributivgesetz)

Damit bleibt

(A

∨ ¬B ∨

C)

∧

(A

∨

B

∨ ¬C) ∧ (¬B ∨ ¬C) ∧

(B

∨

C)

Vorn könnte ich das A ausklammern, aber das würde denke ich nicht so viel bringen. Wie kann ich nun fortfahren?

Respon

12:37 Uhr, 16.10.2020

Geben wir den einzelnen Teilaussagen eine Nummer:

1 : (\neg A \lor \neg B \lor \neg C)

2 : (\neg A \lor B \lor C)

3 : (A \lor \neg B \lor \neg C)

4 : (A \lor \neg B \lor C)

5 : (A \lor B \lor \neg C)

6 : (A \lor B \lor C)

Mögliche Vorgehensweise bez. Kombinationen

3 \land 4

liefert umgeformt

A \lor \neg B

5 \land 6

liefert umgeformt

A \lor B

(A \lor \neg B) \land (A \lor B) \to A

Fehlt noch

1 \land 2 \land A

\Rightarrow

A \land (B \lor C) \land (\neg B \lor \neg C)

Laura99 aktiv_icon

12:53 Uhr, 16.10.2020

Wo ist bei 1 und 2 das nichtA hin?

Respon

13:35 Uhr, 16.10.2020

A \land (\neg A \lor \neg B \lor \neg C) \land (\neg A \lor B \lor C) =

???
Mehrere Möglichkeiten,

z . B

.
Es gilt

A = A \land A

und das Kommutativgesetz.

\Rightarrow

[A \land (\neg A \lor \neg B \lor \neg C)] \land [A \land (\neg A \lor B \lor C)]

[A \land (\neg A \lor \neg B \lor \neg C)] = (A \land \neg A) \lor (A \land (\neg B \lor \neg C))

(A \land \neg A)

immer falsch ist, hängt der Wahrheitsgehalt nur von

(A \land (\neg B \lor \neg C))

ab.

Analog

[A \land (\neg A \lor B \lor C)] \to (A \land (B \lor C))

Also

A \land (\neg B \lor \neg C) \land (B \lor C))

Laura99 aktiv_icon

13:41 Uhr, 16.10.2020

Das hätte ich im Leben nicht gesehen...
Gibt es noch eine "einfachere Möglichkeit"?

Respon

13:50 Uhr, 16.10.2020

Da bin ich mir sicher !

Laura99 aktiv_icon

10:10 Uhr, 17.10.2020

Ich habs nun geschnallt.
Danke an alle Helfenden!

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